Петя и Вася проплыли против течения реки на моторной лодке 3 часа, после чего Вася пересел на плот и они оба поплыли обратно. Собственная скорость моторной лодки 10 км/ч. Найдите скорость реки, если Петя вернулся на 10 часов раньше.

Решение: Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $$(10 - x)$$ км/ч, а скорость лодки по течению равна $$(10 + x)$$ км/ч. Петя проплыл против течения 3 часа, значит, он проплыл расстояние $$3(10 - x)$$ км. Затем он поплыл обратно по течению. Вася проплыл против течения 3 часа, а затем поплыл на плоту по течению. Скорость плота равна скорости течения, то есть $$x$$ км/ч. Пусть $$t_1$$ – время, которое Петя затратил на обратный путь, а $$t_2$$ – время, которое Вася затратил на весь путь. По условию задачи, Петя вернулся на 10 часов раньше Васи, то есть $$t_2 - t_1 = 10$$. Расстояние, которое проплыл Петя обратно по течению, равно $$3(10 - x)$$ км. Значит, время, которое он затратил на обратный путь, равно: $$t_1 = \frac{3(10 - x)}{10 + x}$$ Вася проплыл против течения 3 часа, а затем поплыл на плоту. Расстояние, которое он проплыл против течения, равно $$3(10 - x)$$ км. Время, которое он затратил на этот путь, равно 3 часа. Затем он поплыл на плоту по течению. Чтобы вернуться в исходную точку, ему нужно проплыть расстояние $$3(10 - x)$$ км. Скорость плота равна скорости течения, то есть $$x$$ км/ч. Значит, время, которое он затратил на обратный путь на плоту, равно: $$\frac{3(10 - x)}{x}$$ Общее время, которое Вася затратил на весь путь, равно: $$t_2 = 3 + \frac{3(10 - x)}{x}$$ Теперь мы можем записать уравнение: $$t_2 - t_1 = 10$$ $$3 + \frac{3(10 - x)}{x} - \frac{3(10 - x)}{10 + x} = 10$$ $$\frac{3(10 - x)}{x} - \frac{3(10 - x)}{10 + x} = 7$$ $$3(10 - x)(\frac{1}{x} - \frac{1}{10 + x}) = 7$$ $$3(10 - x)(\frac{10 + x - x}{x(10 + x)}) = 7$$ $$3(10 - x)(\frac{10}{x(10 + x)}) = 7$$ $$\frac{30(10 - x)}{x(10 + x)} = 7$$ $$30(10 - x) = 7x(10 + x)$$ $$300 - 30x = 70x + 7x^2$$ $$7x^2 + 100x - 300 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{-100 \pm \sqrt{100^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-300)}}{2 \cdot 7}$$ $$x = \frac{-100 \pm \sqrt{10000 + 8400}}{14}$$ $$x = \frac{-100 \pm \sqrt{18400}}{14}$$ $$x = \frac{-100 \pm 20\sqrt{46}}{14}$$ $$x = \frac{-50 \pm 10\sqrt{46}}{7}$$ Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень: $$x = \frac{-50 + 10\sqrt{46}}{7} \approx \frac{-50 + 10 \cdot 6.78}{7} \approx \frac{17.8}{7} \approx 2.54$$ Проверим, если Петя вернулся на 10 часов раньше. Если скорость реки 2.5, то Петя плыл 3 часа со скоростью 7.5 км. Потом обратно со скоростью 12.5. 3*7.5/12.5 = 1.8 часа Петя плыл обратно. Вася плыл 3 часа против течения и потом 3*7.5/2.5 = 9 часов. 12-1.8 = 10.2 часа разница. Попробуем х=3 $$7x^2 + 100x - 300 = 0$$ $$7(9)+300-300 = 63$$ Пусть время Васи равно $$T_b$$, а время Пети $$T_p$$ $$T_b = 3 + \frac{3(10-x)}{x}$$ $$T_p = 3 + \frac{3(10-x)}{10+x}$$ $$T_b - T_p = 10$$ $$\frac{30-3x}{x} - \frac{30-3x}{10+x} = 7$$ $$(30-3x)(10+x) - (30-3x)x = 7x(10+x)$$ $$300+30x - 30x - 3x^2 - 30x+3x^2 = 70x + 7x^2$$ $$300 - 30x = 70x + 7x^2$$ $$7x^2 + 100x - 300 = 0$$ $$D = 10000 + 8400 = 18400$$ $$x = (-100 + sqrt(18400))/14$$ sqrt(18400) примерно 135.65 x = (135.65 - 100)/14 = 35.65/14 = 2.546 Округлим до 2.5 2.5