Петя нарисовал несколько точек на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой, и соединил каждые две точки отрезком. Сколько отрезков мог получить Петя? Выберите все возможные варианты.

Для решения этой задачи нужно понять, как количество точек связано с количеством отрезков, которые можно провести, соединяя каждую пару точек. Это задача на комбинаторику, а именно на сочетания.

Пусть у нас есть $$n$$ точек. Каждый отрезок соединяет две точки. Количество способов выбрать 2 точки из $$n$$ равно числу сочетаний из $$n$$ по 2, что обозначается $$C(n, 2)$$ или $$C_n^2$$.

Формула для сочетаний: $$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$$, где $$n!$$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $$n$$.

Теперь проверим, какие из предложенных вариантов (6, 7, 8, 10) могут быть получены при некотором количестве точек:

• Для 6 отрезков: $$\frac{n(n-1)}{2} = 6$$ $$n(n-1) = 12$$ $$n^2 - n - 12 = 0$$ $$(n-4)(n+3) = 0$$ $$n = 4$$ или $$n = -3$$. Так как количество точек не может быть отрицательным, то $$n = 4$$. Значит, 6 отрезков возможно.
• Для 7 отрезков: $$\frac{n(n-1)}{2} = 7$$ $$n(n-1) = 14$$ $$n^2 - n - 14 = 0$$ Решения этого квадратного уравнения не являются целыми числами, значит, 7 отрезков невозможно.
• Для 8 отрезков: $$\frac{n(n-1)}{2} = 8$$ $$n(n-1) = 16$$ $$n^2 - n - 16 = 0$$ Решения этого квадратного уравнения не являются целыми числами, значит, 8 отрезков невозможно.
• Для 10 отрезков: $$\frac{n(n-1)}{2} = 10$$ $$n(n-1) = 20$$ $$n^2 - n - 20 = 0$$ $$(n-5)(n+4) = 0$$ $$n = 5$$ или $$n = -4$$. Так как количество точек не может быть отрицательным, то $$n = 5$$. Значит, 10 отрезков возможно.

Таким образом, Петя мог получить 6 или 10 отрезков.