Петя считает все пути из левого нижнего угла клетчатого квадрата 10 × 10 в правый верхний, идущие по линиям сетки вправо или вверх и не поднимающиеся выше главной диагонали. Его друг Вася расставляет в прямоугольнике 2 × 10 числа от 1 до 20 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числа шли по возрастанию. У кого количество способов получилось больше?

Число путей Пети равно числу последовательностей из 10 шагов вправо и 10 шагов вверх, в которых на каждом промежуточном этапе шагов вправо не меньше, чем шагов вверх. По формуле Каталана это число равно \(C_{10}=\frac{1}{11}\binom{20}{10}=16796\).

Расстановку Васи можно записать последовательностью из чисел от 1 до 20: отметим, какие из них стоят в верхней строке, а остальные — в нижней. В каждой строке порядок чисел уже однозначно задан возрастанием. Условие возрастания в столбцах требует, чтобы среди первых \(k\) чисел верхней строки было не меньше, чем среди первых \(k\) чисел нижней, для каждого \(k\). Это то же условие баланса, что и для путей Пети. Поэтому число расстановок также равно \(C_{10}=16796\).

Ответ: поровну.