Письменно: №1. F B Дано: DA 1 AB FB AB BD = AF A D Доказать: Д АBD = A BAF №2. Докажите, что два равнобедренных прямоугольных треугольника равны, если равны их гипотенузы. №3 Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.

№1

• Дано:
  • \(DA \perp AB\)
  • \(FB \perp AB\)
  • \(BD = AF\)
• Доказать: \(\triangle ABD = \triangle BAF\)

1. \(DA \perp AB\) и \(FB \perp AB\), следовательно, \(\angle DAB = 90^\circ\) и \(\angle FBA = 90^\circ\). Значит, \(\angle DAB = \angle FBA\).
2. Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle BAF\):
   • \(BD = AF\) (по условию)
   • \(AB\) – общая сторона
   • \(\angle DAB = \angle FBA = 90^\circ\)
3. По двум сторонам и углу между ними \(\triangle ABD = \triangle BAF\) (по первому признаку равенства треугольников).

№2

1. Пусть даны два равнобедренных прямоугольных треугольника с равными гипотенузами.
2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны 45°.
3. Пусть \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) – два равнобедренных прямоугольных треугольника, где \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle C_1 = 90^\circ\), \(AC = BC\), \(A_1C_1 = B_1C_1\), и \(AB = A_1B_1\).
4. Так как \(AB = A_1B_1\) (гипотенузы равны), а углы при основании равны 45°, то \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) (по гипотенузе и острому углу).

№3

1. Пусть даны два прямоугольных треугольника с равными катетами и высотами, опущенными на гипотенузу.
2. Пусть \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) – два прямоугольных треугольника, где \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle C_1 = 90^\circ\), \(AC = A_1C_1\) и высоты \(CD = C_1D_1\), опущенные на гипотенузу.
3. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Так как \(AC = A_1C_1\) и \(CD = C_1D_1\), то площади этих треугольников равны: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD\).
4. Тогда \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) (по катету и высоте, опущенной на гипотенузу).

Ответ: См. подробное решение выше