Планируется открыть вклад в банке на четыре года на целое число миллионов рублей на следующих условиях: - банк в конце каждого года увеличивает сумму вклада на 10% по сравнению с суммой вклада на начало года; - начисленные банком проценты прибавляются к сумме вклада; - в начале третьего и четвёртого годов вкладчик пополняет вклад на 7 млн рублей (каждый год). Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад не больше 12 млн рублей.

Решение:

Обозначим первоначальный вклад как \( x \) миллионов рублей.

Первый год:

Сумма вклада в начале года: \( x \)

Начисленные проценты: \( 0.10x \)

Сумма вклада в конце года: \( x + 0.10x = 1.10x \)

Второй год:

Сумма вклада в начале года: \( 1.10x \)

Начисленные проценты: \( 0.10 \cdot 1.10x = 0.11x \)

Сумма вклада в конце года: \( 1.10x + 0.11x = 1.21x \)

Третий год:

Сумма вклада в начале года: \( 1.21x \)

Вкладчик пополняет вклад на 7 млн рублей. Сумма становится: \( 1.21x + 7 \)

Начисленные проценты: \( 0.10 \cdot (1.21x + 7) = 0.121x + 0.7 \)

Сумма вклада в конце года: \( (1.21x + 7) + (0.121x + 0.7) = 1.331x + 7.7 \)

Четвёртый год:

Сумма вклада в начале года: \( 1.331x + 7.7 \)

Вкладчик пополняет вклад на 7 млн рублей. Сумма становится: \( 1.331x + 7.7 + 7 = 1.331x + 14.7 \)

Начисленные проценты: \( 0.10 \cdot (1.331x + 14.7) = 0.1331x + 1.47 \)

Общая сумма начисленных процентов за четыре года:

\( 0.10x + 0.11x + (0.121x + 0.7) + (0.1331x + 1.47) \)

\( = (0.10 + 0.11 + 0.121 + 0.1331)x + (0.7 + 1.47) \)

\( = 0.4641x + 2.17 \)

По условию, банк за четыре года начислит на вклад не больше 12 млн рублей:

\( 0.4641x + 2.17 ≤ 12 \)

\( 0.4641x ≤ 12 - 2.17 \)

\( 0.4641x ≤ 9.83 \)

\( x ≤ \frac{9.83}{0.4641} \)

\( x ≤ 21.179 \)

Так как первоначальный вклад должен быть целым числом миллионов рублей, наибольший размер первоначального вклада составляет 21 миллион рублей.

Ответ: 21 млн рублей.