Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 1% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 53 млн рублей.

Обозначим размер кредита за S млн рублей. Пусть x - ежегодный платеж в конце 4-го и 5-го годов.

В конце каждого года долг увеличивается на 1%, то есть умножается на 1.01.

В конце 1-го года долг составит 1.01S, заёмщик выплачивает 0.01S.

В конце 2-го года долг составит 1.01S, заёмщик выплачивает 0.01S.

В конце 3-го года долг составит 1.01S, заёмщик выплачивает 0.01S.

В конце 4-го года долг составит 1.01S, заёмщик выплачивает x.

Остаток долга после 4-го года: 1.01S - x.

В конце 5-го года долг составит 1.01(1.01S - x), заёмщик выплачивает x и полностью погашает долг.

Таким образом, получаем уравнение:

$$ 1.01(1.01S - x) = x $$

Выразим x:

$$ 1.0201S - 1.01x = x $$ $$ 1.0201S = 2.01x $$ $$ x = \frac{1.0201S}{2.01} $$

Общая сумма выплат:

$$ 0.01S + 0.01S + 0.01S + x + x = 0.03S + 2x $$

Подставим выражение для x:

$$ 0.03S + 2 \cdot \frac{1.0201S}{2.01} = 0.03S + \frac{2.0402S}{2.01} $$

По условию общая сумма выплат меньше 53 млн рублей:

$$ 0.03S + \frac{2.0402S}{2.01} < 53 $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{0.03S \cdot 2.01 + 2.0402S}{2.01} < 53 $$ $$ \frac{0.0603S + 2.0402S}{2.01} < 53 $$ $$ \frac{2.1005S}{2.01} < 53 $$ $$ 2.1005S < 53 \cdot 2.01 $$ $$ 2.1005S < 106.53 $$ $$ S < \frac{106.53}{2.1005} $$ $$ S < 50.716 $$

Так как S - целое число, то наибольшее целое значение S равно 50.

Ответ: 50