Please evaluate the following mathematical expression: $$ \frac{5}{3} \div \left( \frac{7}{6} - \frac{3}{5} \right) + \frac{5}{6} \div \frac{1}{3} $$

Решение:

Для решения данного выражения будем придерживаться порядка математических операций: сначала выполняем действия в скобках, затем деление, а после — сложение.

1. Вычислим разность в скобках: \( \frac{7}{6} - \frac{3}{5} \)
• Приведём дроби к общему знаменателю 30: \( \frac{7 \times 5}{6 \times 5} - \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{35}{30} - \frac{18}{30} = \frac{35 - 18}{30} = \frac{17}{30} \)
2. Выполним первое деление: \( \frac{5}{3} \div \frac{17}{30} \)
• Деление на дробь равно умножению на обратную дробь: \( \frac{5}{3} \times \frac{30}{17} = \frac{5 \times 30}{3 \times 17} = \frac{150}{51} \)
• Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( \frac{150 \div 3}{51 \div 3} = \frac{50}{17} \)
3. Выполним второе деление: \( \frac{5}{6} \div \frac{1}{3} \)
• \( \frac{5}{6} \times \frac{3}{1} = \frac{5 \times 3}{6 \times 1} = \frac{15}{6} \)
• Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( \frac{15 \div 3}{6 \div 3} = \frac{5}{2} \)
4. Сложим результаты делений: \( \frac{50}{17} + \frac{5}{2} \)
• Приведём дроби к общему знаменателю 34: \( \frac{50 \times 2}{17 \times 2} + \frac{5 \times 17}{2 \times 17} = \frac{100}{34} + \frac{85}{34} = \frac{100 + 85}{34} = \frac{185}{34} \)

Ответ: \( \frac{185}{34} \).