Please provide the solution to the integral. \(\int\)_{1}^{2} (1x^2 + 3x - 1) dx = ?

Интеграл

Привет! Давай решим этот интеграл вместе.

Нам нужно найти определённый интеграл:

\[ ∫_{1}^{2} (x^2 + 3x - 1) dx \]

Сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = x^2 + 3x - 1 \). Используем правило степенной функции \( ∫ x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и правило для константы \( ∫ k dx = kx + C \).

Первообразная \( F(x) \) будет:

\[ F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\frac{x^{1+1}}{1+1} - 1x + C \]

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - x + C \]

Теперь найдём значение определённого интеграла, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( ∫_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).

Подставим верхний предел \( x=2 \) и нижний предел \( x=1 \):

\[ F(2) = \frac{2^3}{3} + \frac{3(2^2)}{2} - 2 = \frac{8}{3} + \frac{3(4)}{2} - 2 = \frac{8}{3} + \frac{12}{2} - 2 = \frac{8}{3} + 6 - 2 = \frac{8}{3} + 4 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ F(2) = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} \]

\[ F(1) = \frac{1^3}{3} + \frac{3(1^2)}{2} - 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 1 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ F(1) = \frac{2}{6} + \frac{9}{6} - \frac{6}{6} = \frac{5}{6} \]

Теперь вычтем \( F(1) \) из \( F(2) \):

\[ ∫_{1}^{2} (x^2 + 3x - 1) dx = F(2) - F(1) = \frac{20}{3} - \frac{5}{6} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ = \frac{40}{6} - \frac{5}{6} = \frac{35}{6} \]

Ответ: \(\frac{35}{6}\).