Площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы равна 16√3п см². Найдите площадь боковой поверхности треугольной призмы.

Решение:

Давай разберем эту задачу вместе! Нам дана площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, и нужно найти площадь боковой поверхности призмы.

Сначала, давай вспомним основные формулы:

• Площадь боковой поверхности цилиндра: \[S_{бок.цил.} = 2\pi R h\]
• Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы: \[S_{бок.призмы} = P_{осн.} h\] , где \[P_{осн.}\] - периметр основания призмы, а h - высота призмы.

В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник. Цилиндр описан около призмы, значит, радиус основания цилиндра равен радиусу описанной окружности около этого треугольника.

Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника со стороной a выражается формулой: \[R = \frac{a}{\sqrt{3}}\]

Площадь боковой поверхности цилиндра нам известна: \[16\sqrt{3}\pi = 2\pi R h\]

Выразим R через сторону основания призмы a: \[16\sqrt{3}\pi = 2\pi \frac{a}{\sqrt{3}} h\]

Теперь найдем ah: \[ah = \frac{16\sqrt{3}\pi \cdot \sqrt{3}}{2\pi} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 24\]

Периметр основания призмы равен: \[P_{осн.} = 3a\]

Площадь боковой поверхности призмы равна: \[S_{бок.призмы} = 3ah = 3 \cdot 24 = 72 \text{ см}^2\]

Ответ: 72

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Уверен, что у тебя все получится и дальше!