Площадь фигуры, изображенной на рисунке, равна

Решение:

На рисунке изображена область, ограниченная параболой \( y = x^2 \) и прямой \( y = x+2 \). Для нахождения площади этой фигуры необходимо определить точки их пересечения.

1. Найдем точки пересечения, приравняв уравнения: \( x^2 = x + 2 \)
2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: \( x^2 - x - 2 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). \( \sqrt{D} = 3 \).
4. Найдем корни: \( x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \).
5. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности функций по промежутку от \( x_1 \) до \( x_2 \):

\[ S = \int_{-1}^{2} ((x+2) - x^2) dx \]\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \]\[ S = \left( \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right) \]\[ S = \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 - \left(-\frac{1}{3}\right) \right) \]\[ S = \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) \]\[ S = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3}{6} - \frac{12}{6} + \frac{2}{6} \right) \]\[ S = \left( \frac{18}{3} - \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right) \]\[ S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} \]\[ S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} \]\[ S = \frac{27}{6} \]\[ S = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Ответ: 4.5