Площадь фигуры, ограниченной линиями $$f(x) = x^4; g(x) = x$$, равна...

Решение:

Сначала найдем точки пересечения графиков функций \( y = x^4 \) и \( y = x \).

\[ x^4 = x \]

\[ x^4 - x = 0 \]

\[ x(x^3 - 1) = 0 \]

Отсюда \( x = 0 \) или \( x^3 = 1 \), что дает \( x = 1 \).

На интервале \( [0, 1] \) функция \( y = x \) находится выше \( y = x^4 \), так как, например, при \( x = 0.5 \) имеем \( 0.5 > (0.5)^4 = 0.0625 \).

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{0}^{1} (x - x^4) dx \]

Теперь вычислим интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^5}{5} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^5}{5} \right) \]

\[ S = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 2}{10} = \frac{3}{10} \]

Ответ: $$\int_{0}^{1} (x - x^4) dx$$