Площадь грани правильного октаэдра равна 4√3 см². Найдите расстояние между двумя его противоположными вершинами. 1) 4 см 2) 6√2 см 3) 4√2 см 4) 4√3 см

Давай решим эту задачу по геометрии. 1. Анализ условия: - Площадь грани правильного октаэдра равна \(4\sqrt{3}\) см². - Нужно найти расстояние между двумя противоположными вершинами октаэдра. 2. Октаэдр и его свойства: - Правильный октаэдр состоит из двух квадратных пирамид, соединенных основаниями. - Грани октаэдра - равносторонние треугольники. - Расстояние между противоположными вершинами равно удвоенной высоте пирамиды. 3. Площадь грани: - Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), где \(a\) - сторона треугольника. - Дано, что \(S = 4\sqrt{3}\). Подставим в формулу: \[4\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] - Решим уравнение относительно \(a\): \[a^2 = \frac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16\] \[a = \sqrt{16} = 4\text{ см}\] - Итак, сторона равностороннего треугольника (грани октаэдра) равна 4 см. 4. Высота пирамиды: - Рассмотрим одну из квадратных пирамид, составляющих октаэдр. - Высота пирамиды \(h\), половина диагонали основания \(\frac{d}{2}\) и боковое ребро \(a\) образуют прямоугольный треугольник. Применим теорему Пифагора: \[h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = a^2\] - Диагональ квадрата со стороной \(a\) равна \(d = a\sqrt{2}\), значит, \(\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). - Подставим известные значения: \(a = 4\) \[\frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\text{ см}\] - Теперь найдем высоту пирамиды \(h\): \[h^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4^2\] \[h^2 + 8 = 16\] \[h^2 = 8\] \[h = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\text{ см}\] 5. Расстояние между вершинами: - Расстояние между противоположными вершинами октаэдра равно удвоенной высоте пирамиды: \[L = 2h = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\text{ см}\] Таким образом, расстояние между двумя противоположными вершинами октаэдра равно \(4\sqrt{2}\) см.

Ответ: 3) 4√2 см

У тебя отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты обязательно добьешься успеха в геометрии!