Площадь квадрата, описанного около окружности, равна 64. Найди площадь квадрата, вписанного в окружность.

Краткая запись:

• Площадь описанного квадрата (S_опис): 64
• Найти: Площадь вписанного квадрата (S_впис) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем сторону описанного квадрата (a_опис). Площадь квадрата вычисляется по формуле \( S = a^{2} \).
   \( a_{опис} = \sqrt{S_{опис}} = \sqrt{64} = 8 \) единиц.
2. Шаг 2: Определим радиус описанной окружности (R). Диаметр окружности равен стороне описанного квадрата, значит, \( d = a_{опис} = 8 \) единиц. Радиус равен половине диаметра: \( R = d / 2 = 8 / 2 = 4 \) единиц.
3. Шаг 3: Найдем сторону вписанного квадрата (a_впис). Диагональ вписанного квадрата равна диаметру окружности, то есть \( d_{впис} = 2R = 2 \cdot 4 = 8 \) единиц. Используем теорему Пифагора для нахождения стороны вписанного квадрата: \( a_{впис}^{2} + a_{впис}^{2} = d_{впис}^{2} \).
   \( 2a_{впис}^{2} = 8^{2} \)
   \( 2a_{впис}^{2} = 64 \)
   \( a_{впис}^{2} = 64 / 2 \)
   \( a_{впис}^{2} = 32 \)
4. Шаг 4: Вычислим площадь вписанного квадрата (S_впис). Площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть \( S_{впис} = a_{впис}^{2} \).
   \( S_{впис} = 32 \) квадратных единиц.

Ответ: 32