8. Площадь основания конуса

Условие задания: Конус пересечён плоскостью, которая перпендикулярна высоте конуса и делит её на отрезки в отношении 1:4, считая от вершины. Площадь сечения равна $$2\pi$$. Вычисли площадь основания конуса. Решение: Пусть $$h$$ — высота конуса, а $$r$$ — радиус основания конуса. Тогда площадь основания конуса $$S_{осн} = \pi r^2$$. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной высоте, является кругом. Пусть $$h_1$$ — расстояние от вершины конуса до плоскости сечения, а $$r_1$$ — радиус сечения. Тогда $$h_1 = \frac{1}{5}h$$. Из подобия треугольников имеем: $$\frac{r_1}{r} = \frac{h_1}{h} = \frac{1}{5}$$. Значит, $$r_1 = \frac{1}{5}r$$. Площадь сечения равна $$S_{сеч} = \pi r_1^2 = \pi (\frac{1}{5}r)^2 = \frac{1}{25} \pi r^2$$. По условию $$S_{сеч} = 2\pi$$, следовательно, $$\frac{1}{25} \pi r^2 = 2\pi$$. Отсюда, $$\pi r^2 = 2\pi \cdot 25 = 50\pi$$. Таким образом, площадь основания конуса $$S_{осн} = \pi r^2 = 50\pi$$. Ответ: площадь основания конуса равна 50.