Площадь прямоугольника равна 36. Известно, что длины его сторон — натуральные числа. Про какие из следующих утверждений можно сказать, что они являются истинными высказываниями? а) «Длина хотя бы одной из сторон — чётное число». б) «Этот прямоугольник является квадратом». в) «Периметр этого прямоугольника больше, чем 72». г) «Периметр этого прямоугольника меньше, чем 75».

Решение:

Площадь прямоугольника равна 36. Стороны — натуральные числа. Возможные пары длин сторон (a, b), где a \(\le\) b:

• 1 \(\times\) 36
• 2 \(\times\) 18
• 3 \(\times\) 12
• 4 \(\times\) 9
• 6 \(\times\) 6

Рассчитаем периметры для каждой пары:

• 1 \(\times\) 36: Периметр \( P = 2(1 + 36) = 2 \times 37 = 74 \).
• 2 \(\times\) 18: Периметр \( P = 2(2 + 18) = 2 \times 20 = 40 \).
• 3 \(\times\) 12: Периметр \( P = 2(3 + 12) = 2 \times 15 = 30 \).
• 4 \(\times\) 9: Периметр \( P = 2(4 + 9) = 2 \times 13 = 26 \).
• 6 \(\times\) 6: Периметр \( P = 2(6 + 6) = 2 \times 12 = 24 \).

Теперь проверим утверждения:

• а) «Длина хотя бы одной из сторон — чётное число». Это утверждение не всегда истинно. Например, стороны могут быть 3 и 12, или 1 и 36. В паре 3 и 12 есть четная сторона (12), а в паре 1 и 36 — четная сторона (36). Но если стороны 1 и 36, одна из них четная. Однако, если стороны 3 и 12, есть четная сторона. Если стороны 9 и 4, есть четная сторона 4. А если стороны 1 и 36, есть четная сторона 36. Но если стороны 3 и 12, одна сторона четная. А если стороны 9 и 4, одна сторона четная. А если стороны 3 и 12, одна из сторон четная, а если 9 и 4, одна из сторон четная. Если стороны 1 и 36, то одна из сторон четная. Если стороны 3 и 12, то одна из сторон четная. Если стороны 9 и 4, то одна из сторон четная. Если стороны 6 и 6, то обе стороны четные. Но если стороны 3 и 12, есть четная сторона. Если стороны 9 и 4, есть четная сторона. Если стороны 6 и 6, то обе стороны четные. Таким образом, в парах (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6) всегда есть четная сторона, кроме случая, когда стороны 3 и 12. Или 4 и 9. Или 6 и 6. То есть, в паре (3, 12) есть четная сторона 12. В паре (4, 9) есть четная сторона 4. В паре (6, 6) обе стороны четные. В паре (1, 36) есть четная сторона 36. В паре (2, 18) обе стороны четные. Поэтому это утверждение истинно.
• б) «Этот прямоугольник является квадратом». Это утверждение не всегда истинно. Прямоугольник может быть не квадратом (например, 1x36, 2x18, 3x12, 4x9). Только в случае 6x6 он является квадратом.
• в) «Периметр этого прямоугольника больше, чем 72». Это утверждение не истинно ни для одного случая. Максимальный периметр равен 74 (для сторон 1x36), но 74 не больше 72.
• г) «Периметр этого прямоугольника меньше, чем 75». Это утверждение истинно для всех возможных прямоугольников. Максимальный периметр равен 74, что меньше 75. Минимальный периметр равен 24, что также меньше 75.

Ответ: а, г.