1. Площадь прямоугольного треугольника равен 24 см2, а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника? 2. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь треугольника.

Давай решим эти задачи по геометрии вместе!

1. Поиск катетов прямоугольного треугольника

Условие: Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², гипотенуза равна 10 см. Нужно найти катеты треугольника.

Решение:

1. Обозначим катеты треугольника как \( a \) и \( b \). Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

   \[ S = \frac{1}{2}ab \]

   Из условия задачи нам известно, что \( S = 24 \) см², поэтому:

   \[ \frac{1}{2}ab = 24 \] \[ ab = 48 \]

2. Также мы знаем длину гипотенузы \( c \), которая равна 10 см. По теореме Пифагора:

   \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ a^2 + b^2 = 10^2 \] \[ a^2 + b^2 = 100 \]

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

   \[ \begin{cases} ab = 48 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases} \]

4. Выразим \( b \) из первого уравнения:

   \[ b = \frac{48}{a} \]

5. Подставим это выражение во второе уравнение:

   \[ a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2 = 100 \] \[ a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100 \] \[ a^4 + 2304 = 100a^2 \] \[ a^4 - 100a^2 + 2304 = 0 \]

6. Введем замену \( x = a^2 \), тогда уравнение примет вид:

   \[ x^2 - 100x + 2304 = 0 \]

7. Решим квадратное уравнение относительно \( x \). Дискриминант:

   \[ D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784 \]

8. Корни уравнения:

   \[ x_1 = \frac{100 + \sqrt{784}}{2} = \frac{100 + 28}{2} = 64 \] \[ x_2 = \frac{100 - \sqrt{784}}{2} = \frac{100 - 28}{2} = 36 \]

9. Теперь найдем значения \( a \) и \( b \):

   Если \( x_1 = 64 \), то \( a = \sqrt{64} = 8 \). Тогда \( b = \frac{48}{8} = 6 \).

   Если \( x_2 = 36 \), то \( a = \sqrt{36} = 6 \). Тогда \( b = \frac{48}{6} = 8 \).

10. Итак, катеты треугольника равны 6 см и 8 см.

2. Нахождение площади треугольника

Условие: Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 см, гипотенуза равна 37 см. Необходимо найти площадь треугольника.

Решение:

1. Пусть катеты треугольника \( a \) и \( b \), и пусть \( a - b = 23 \). Тогда \( a = b + 23 \).

2. По теореме Пифагора:

   \[ a^2 + b^2 = 37^2 \] \[ (b + 23)^2 + b^2 = 1369 \]

3. Раскроем скобки и упростим:

   \[ b^2 + 46b + 529 + b^2 = 1369 \] \[ 2b^2 + 46b - 840 = 0 \] \[ b^2 + 23b - 420 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение относительно \( b \). Дискриминант:

   \[ D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209 \]

5. Корни уравнения:

   \[ b_1 = \frac{-23 + \sqrt{2209}}{2} = \frac{-23 + 47}{2} = 12 \] \[ b_2 = \frac{-23 - \sqrt{2209}}{2} = \frac{-23 - 47}{2} = -35 \]

   Так как длина катета не может быть отрицательной, берем \( b = 12 \) см.

6. Найдем \( a \):

   \[ a = b + 23 = 12 + 23 = 35 \]

7. Площадь треугольника:

   \[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = 210 \]

Таким образом, площадь треугольника равна 210 см².

Ответ: Катеты первого треугольника 6 см и 8 см. Площадь второго треугольника 210 см².

Молодец! Ты отлично справился с задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!