Площадь прямоугольного треугольника равна $$\frac{578\sqrt{3}}{3}$$. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Обозначим катет, прилежащий к углу 30°, как $$a$$, а катет, противолежащий этому углу, как $$b$$. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab$$ Мы знаем, что площадь равна $$\frac{578\sqrt{3}}{3}$$ и один из углов равен 30°. Тогда $$b = a \cdot tg(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$$. Подставим известные значения в формулу площади: $$\frac{578\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\frac{578\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{6}$$ Умножим обе части уравнения на $$\frac{6}{\sqrt{3}}$$: $$a^2 = \frac{578\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{578 \cdot 6}{3} = 578 \cdot 2 = 1156$$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $$a = \sqrt{1156} = 34$$ Таким образом, длина катета, прилежащего к углу 30°, равна 34. Ответ: 34