2. Площадь прямоугольного треугольника равна 120 см³. Длины его катетов относятся как 5 : 12. Найдите длины этих катетов.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Пусть длины катетов равны 5x и 12x. Тогда площадь треугольника можно выразить как:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 5x \cdot 12x = 30x^2$$

Из условия задачи площадь равна 120 см².

$$30x^2 = 120$$

Разделим обе части уравнения на 30:

$$x^2 = 4$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$x = 2$$

Теперь найдем длины катетов:

• Первый катет: $$5x = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см}$$
• Второй катет: $$12x = 12 \cdot 2 = 24 \text{ см}$$

Ответ: Длины катетов равны 10 см и 24 см.