Площадь прямоугольного треугольника равна 104. Один из его катетов на 3 больше другого. Найдите меньший катет.

Решение:

Пусть меньший катет прямоугольного треугольника равен \( x \). Тогда больший катет равен \( x + 3 \).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

По условию задачи, площадь равна 104. Подставим значения в формулу:

\[ \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 3) = 104 \]\[ x(x + 3) = 208 \]\[ x^2 + 3x = 208 \]\[ x^2 + 3x - 208 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-208) = 9 + 832 = 841 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{841} = 29 \]

Найдём корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-3 + 29}{2 \cdot 1} = \frac{26}{2} = 13 \]\[ x_2 = \frac{-3 - 29}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16 \]

Так как длина катета не может быть отрицательной, то \( x = 13 \).

Меньший катет равен 13.

Проверка:

Больший катет: \( 13 + 3 = 16 \).

Площадь: \( \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 16 = 13 \cdot 8 = 104 \).

Ответ: 13