Площадь прямоугольного треугольника равна 162√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - катеты прямоугольного треугольника, а $$S$$ - его площадь. Известно, что $$S = 162√3$$. Один из острых углов равен $$60^\circ$$. Пусть этот угол противолежит катету $$a$$. Тогда второй острый угол равен $$30^\circ$$.
Площадь треугольника также можно выразить как $$S = \frac{1}{2}ab$$.
Из тригонометрии, $$\tan(60^°) = \frac{a}{b}$$, откуда $$a = b \tan(60^°) = b\sqrt{3}$$.
Подставляем $$a$$ в формулу площади: $$162\sqrt{3} = \frac{1}{2}(b\sqrt{3})b = \frac{1}{2}b^2\sqrt{3}$$.
Сокращаем $$\sqrt{3}$$ с обеих сторон: $$162 = \frac{1}{2}b^2$$, следовательно, $$b^2 = 324$$, и $$b = 18$$.
Искомый катет, прилежащий к углу $$60^°$$, это $$b$$.
Ответ: 18