Площадь прямоугольного треугольника равна 200, а тангенс одного из углов равен 0, 25. Найди меньший из катетов этого треугольника.

Решение:

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \). Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \).
2. Нам дано, что \( S = 200 \), следовательно, \( \frac{1}{2}ab = 200 \), откуда \( ab = 400 \).
3. Тангенс одного из острых углов треугольника равен 0,25. Пусть это будет угол \( α \). Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
4. Пусть \( \tan(α) = \frac{a}{b} = 0.25 \). Это означает, что \( a = 0.25b \).
5. Подставим это соотношение в уравнение \( ab = 400 \): \( (0.25b)b = 400 \).
6. Решим уравнение относительно \( b \): \( 0.25b^2 = 400 \), \( b^2 = \frac{400}{0.25} \), \( b^2 = 1600 \).
7. Извлекая квадратный корень, получим \( b = 40 \) (так как длина катета не может быть отрицательной).
8. Теперь найдём \( a \): \( a = 0.25b = 0.25 × 40 = 10 \).
9. Сравнивая катеты \( a = 10 \) и \( b = 40 \), видим, что меньший катет равен 10.

Ответ: 10.