Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Решение:

Пусть \( S \) — площадь прямоугольного треугольника, \( \alpha = 30^{\circ} \) — один из острых углов, \( c \) — гипотенуза.

Формула площади прямоугольного треугольника через катеты \( a \) и \( b \): \( S = \frac{1}{2}ab \).

В прямоугольном треугольнике катеты связаны с гипотенузой и острыми углами:

• \( a = c \sin \alpha \)
• \( b = c \cos \alpha \)

Подставим эти выражения в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2} (c \sin \alpha) (c \cos \alpha) = \frac{1}{2} c^2 \sin \alpha \cos \alpha \)

Используя формулу двойного угла \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), получаем \( \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) \).

Тогда площадь можно записать как: \( S = \frac{1}{2} c^2 \cdot \frac{1}{2} \sin(2\alpha) = \frac{1}{4} c^2 \sin(2\alpha) \).

Подставим данные из условия: \( S = 32\sqrt{3} \) и \( \alpha = 30^{\circ} \).

\( 32\sqrt{3} = \frac{1}{4} c^2 \sin(2 \cdot 30^{\circ}) \)

\( 32\sqrt{3} = \frac{1}{4} c^2 \sin(60^{\circ}) \)

Значение \( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( 32\sqrt{3} = \frac{1}{4} c^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( 32\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 \)

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):

\( 32 = \frac{1}{8} c^2 \)

Умножим обе части на 8:

\( c^2 = 32 \cdot 8 = 256 \)

Извлечём квадратный корень:

\( c = \sqrt{256} = 16 \)

Ответ: 16.