Площадь прямоугольного треугольника равна 72√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Краткое пояснение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Также, зная один острый угол, мы можем найти соотношения между катетами и гипотенузой через тригонометрические функции. В данном случае, используем тангенс угла.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим катеты как 'a' (прилежащий к углу 60°) и 'b' (противолежащий). У нас есть площадь S = 72√3. Формула площади: \( S = \frac{1}{2}ab \).
2. Шаг 2: Используем тригонометрию. Для угла 60°, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \( an(60°) = \frac{b}{a} \). Мы знаем, что \( an(60°) = \sqrt{3} \), следовательно, \( \sqrt{3} = \frac{b}{a} \), откуда \( b = a\sqrt{3} \).
3. Шаг 3: Подставим выражение для 'b' в формулу площади: \( 72\sqrt{3} = \frac{1}{2}a(a\sqrt{3}) \).
4. Шаг 4: Упростим и решим уравнение относительно 'a':
   \( 72\sqrt{3} = \frac{1}{2}a^2\sqrt{3} \)
   Умножим обе части на 2:
   \( 144\sqrt{3} = a^2\sqrt{3} \)
   Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):
   \( 144 = a^2 \)
   Извлечем квадратный корень:
   \( a = \sqrt{144} = 12 \).

Ответ: 12