Площадь прямоугольного треугольника равна 8√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Площадь треугольника \( S = 8\sqrt{3} \). Один из острых углов равен \( 60^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 60^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

Найдём отношение катетов:

\( \tan A = \frac{a}{b} \)

\( \tan 60^{\circ} = \frac{a}{b} \)

\( \sqrt{3} = \frac{a}{b} \)

Отсюда \( a = b\sqrt{3} \).

Подставим это выражение в формулу площади:

\( 8\sqrt{3} = \frac{1}{2}(b\sqrt{3})b \)

\( 8\sqrt{3} = \frac{1}{2}b^2\sqrt{3} \)

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):

\( 8 = \frac{1}{2}b^2 \)

Умножим обе части на 2:

\( 16 = b^2 \)

\( b = \sqrt{16} \)

\( b = 4 \)

Катет, прилежащий к углу \( 60^{\circ} \), — это катет \( b \).

Ответ: 4