Площадь прямоугольной трапеции ABCD (∠D и ∠A равны 90°) равна 120. Найдите боковые стороны трапеции (в см), если сумма оснований AB и CD равна 40, а разность этих же оснований равна 8.

Пусть (AB) и (CD) – основания трапеции, где (AB < CD).

Дано:

• Площадь трапеции (S = 120) см²
• (AB + CD = 40) см
• (CD - AB = 8) см
• ∠D = ∠A = 90°

Найти боковые стороны (AD) и (BC).

Сначала решим систему уравнений, чтобы найти основания (AB) и (CD):

$$AB + CD = 40$$

$$CD - AB = 8$$

Сложим два уравнения:

$$2CD = 48$$

$$CD = 24$$

Теперь найдем (AB):

$$AB = 40 - CD = 40 - 24 = 16$$

Итак, (CD = 24) см и (AB = 16) см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot AD$$

Подставим известные значения:

$$120 = \frac{16 + 24}{2} \cdot AD$$

$$120 = \frac{40}{2} \cdot AD$$

$$120 = 20 \cdot AD$$

$$AD = \frac{120}{20} = 6$$

Таким образом, (AD = 6) см.

Теперь найдем (BC). Рассмотрим прямоугольный треугольник (BHC), где (BH = AD = 6) см и (HC = CD - AB = 24 - 16 = 8) см.

По теореме Пифагора:

$$BC^2 = BH^2 + HC^2$$

$$BC^2 = 6^2 + 8^2$$

$$BC^2 = 36 + 64$$

$$BC^2 = 100$$

$$BC = \sqrt{100} = 10$$

Итак, (BC = 10) см.

Ответ: (AD = 6) см, (BC = 10) см