15. Площадь равнобедренного треугольника равна (\frac{169\sqrt{3}}{4}). Угол, лежащий напротив основания, равен 120° (см. рис. 140). Найдите длину боковой стороны.

Пусть (a) - длина боковой стороны равнобедренного треугольника. Площадь треугольника можно выразить как (S = \frac{1}{2} a^2 \sin(\gamma)), где (\gamma) - угол между боковыми сторонами. В нашем случае (S = \frac{169\sqrt{3}}{4}) и (\gamma = 120^\circ). Тогда: \[\frac{169\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} a^2 \sin(120^\circ)\] Так как (\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), получаем: \[\frac{169\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{169\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\] Умножим обе части на (\frac{4}{\sqrt{3}}): \[169 = a^2\] Тогда (a = \sqrt{169} = 13). Ответ: 13