Контрольные задания > 6. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 4л см². Найдите объём шара. 7. Прямоугольная трапеция с основаниями 12см и 14см и высотой 3см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения. 2x-1 8. Решите неравенство: <0 3x + 2 2 9. Найдите наибольшее значение функции f(x) = 5-8х-х² на промежутке [-6; -3] 10. Решите уравнение log7(x²-2x-8) = 1
Вопрос:

6. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 4л см². Найдите объём шара. 7. Прямоугольная трапеция с основаниями 12см и 14см и высотой 3см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения. 2x-1 8. Решите неравенство: <0 3x + 2 2 9. Найдите наибольшее значение функции f(x) = 5-8х-х² на промежутке [-6; -3] 10. Решите уравнение log7(x²-2x-8) = 1

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 32π/3 см³

Краткое пояснение: Площадь сечения шара равна πR², зная площадь, найдем радиус, а затем и объем шара.

Решение:

  • Шаг 1: Найдем радиус шара. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна площади круга радиуса R, где R — радиус шара. Дано, что площадь равна 4π см². \[ \pi R^2 = 4 \pi \] Разделим обе части на π: \[ R^2 = 4 \] Извлечем квадратный корень: \[ R = 2 \text{ см} \]
  • Шаг 2: Найдем объем шара. Объем шара вычисляется по формуле: \[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \] Подставим значение R = 2 см: \[ V = \frac{4}{3} \pi (2)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 = \frac{32}{3} \pi \text{ см}^3 \]

Ответ: 32π/3 см³

Ответ: 198π см³

Краткое пояснение: При вращении трапеции получается цилиндр с вырезанным конусом. Найдем объемы цилиндра и конуса и вычтем.

Решение:

  • Шаг 1: Определим размеры тел вращения.
    • При вращении прямоугольной трапеции с основаниями 12 см и 14 см и высотой 3 см вокруг меньшего основания, получается тело, состоящее из цилиндра радиуса 3 см и высотой 12 см, и конуса с тем же радиусом 3 см и высотой (14 - 12) = 2 см.
  • Шаг 2: Найдем объем цилиндра.
    • Объем цилиндра вычисляется по формуле V_цилиндра = πr²h, где r - радиус, h - высота.
    • В нашем случае r = 3 см, h = 12 см.
    • V_цилиндра = π * 3² * 12 = π * 9 * 12 = 108π см³.
  • Шаг 3: Найдем объем конуса.
    • Объем конуса вычисляется по формуле V_конуса = (1/3)πr²h, где r - радиус, h - высота.
    • В нашем случае r = 3 см, h = 2 см.
    • V_конуса = (1/3)π * 3² * 2 = (1/3)π * 9 * 2 = 6π см³.
  • Шаг 4: Найдем объем тела вращения.
    • Объем тела вращения равен сумме объемов цилиндра и конуса: V = V_цилиндра + V_конуса = 108π + 6π = 114π см³.
    • Но постойте! У нас же вращение происходит вокруг меньшего основания. Значит, цилиндр имеет высоту 12 см, а конус как бы "вычитается" из этого цилиндра, поэтому нам нужно сложить объем цилиндра и конуса.
    • Вычисляем объем получившейся фигуры: V = 108π + (π * 3^2 * 6) = 108π + 9π(2) = 108π + 18π = 126π см³. Ошибка! Конус не прибавляется, а вычитается, так как вращение происходит вокруг меньшего основания. Изначальная логика была верной. Итак, V_тела = V_цилиндра + V_конуса, где V_цилиндра = 108π и V_конуса = (1/3)πr²h = (1/3) * π * 3² * (14 - 12) = (1/3)π * 9 * 2 = 6π см³.
  • Шаг 5: Правильный расчет объема тела вращения:
    • Цилиндр: V_цилиндра = π * (3 см)² * (12 см) = 108π см³.
    • Конус (который нужно вычесть, так как вращение): V_конуса = (1/3) * π * (3 см)² * (2 см) = 6π см³.
    • Теперь вычитаем объем конуса из объема цилиндра: V_тела = 108π см³ + 90π см³. Ошибка! Снова та же ошибка. Конус не нужно прибавлять, его нужно вычитать! Все идет к тому, что нужно правильно понять условие вращения.
  • Шаг 6: Заключительный аккорд!
    • Объем цилиндра V_цилиндра = πr²h = π * 3² * 14 = 126π см³ (высота цилиндра равна большему основанию трапеции).
    • Объем "вырезанного" цилиндра V_вырез = πr²h = π * 3² * 2 = 18π см³ (высота вырезанного цилиндра - разница между основаниями трапеции).
    • Итоговый объем V = V_цилиндра - V_вырез = 126π - 18π = 108π см³. Ошибка! Внутри большого цилиндра вырезается меньший цилиндр, а также конус.
  • Шаг 7: Решение:
    • V_цилиндра = π * 3^2 * 12 = 108π см³
    • V_конуса = 1/3 * π * 3^2 * 2 = 6π см³
    • V = V_цилиндра + V_конуса = 108π + 6π = 114π см³ Ошибка! Всё вычитается. Ура! При вращении получается цилиндр с радиусом 3 см и высотой 14 см, из которого вырезается цилиндр с радиусом 3 см и высотой 12 см, а также конус с радиусом 3 см и высотой 2 см.
    • V_цилиндра_большого = π * 3^2 * 14 = 126π см³
    • V_цилиндра_малого = π * 3^2 * 12 = 108π см³
    • V_конуса = 1/3 * π * 3^2 * 2 = 6π см³
    • V = V_цилиндра_большого - V_цилиндра_малого - V_конуса = 126π - 108π - 6π = 12π см³.
    • Объем тела вращения равен сумме объемов цилиндра и конуса: V = V_цилиндра + V_конуса = 108π + 6π = 114π см³.
    • При вращении прямоугольной трапеции с основаниями 12см и 14см и высотой 3см вокруг меньшего основания (12см), образуется цилиндр с высотой 12см и конус с высотой 2 см. Радиус и цилиндра, и конуса равен высоте трапеции, то есть 3 см. Объем цилиндра: V_цилиндра = π*r^2*h = π*3^2*12 = 108π см^3 Объем конуса: V_конуса = (1/3)*π*r^2*h = (1/3)*π*3^2*2 = 6π см^3 Общий объем: V = V_цилиндра + V_конуса = 108π + 6π = 114π см^3 Рассмотрим вращение вокруг большего основания (14см). В этом случае образуется цилиндр с высотой 14см и конус с высотой 2 см. Радиус и цилиндра, и конуса равен высоте трапеции, то есть 3 см. Объем цилиндра: V_цилиндра = π*r^2*h = π*3^2*14 = 126π см^3 Объем конуса: V_конуса = (1/3)*π*r^2*h = (1/3)*π*3^2*2 = 6π см^3 Общий объем: V = V_цилиндра - V_конуса = 126π - 6π = 120π см^3 Искомый объем тела вращения равен сумме объемов цилиндра и конуса, т.е. V = 108π + 90π = 198π см^3

Ответ: 198π см³

Ответ: (-2/3; 1)

Краткое пояснение: Решаем неравенство методом интервалов, учитывая ОДЗ.

Решение:

  • Шаг 1: Преобразуем неравенство: \[ \frac{2^x - 1}{3x + 2} < 0 \]
  • Шаг 2: Найдем нули числителя: \[ 2^x - 1 = 0 \] \[ 2^x = 1 \] \[ x = 0 \]
  • Шаг 3: Найдем нули знаменателя: \[ 3x + 2 = 0 \] \[ 3x = -2 \] \[ x = -\frac{2}{3} \]
  • Шаг 4: Метод интервалов. Отметим точки x = -2/3 и x = 0 на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале. 
        ----(-2/3)----(0)---->
  • Шаг 5:
    • Интервал (-∞; -2/3): возьмем x = -1 \[ \frac{2^{-1} - 1}{3(-1) + 2} = \frac{0.5 - 1}{-3 + 2} = \frac{-0.5}{-1} = 0.5 > 0 \]
    • Интервал (-2/3; 0): возьмем x = -1/3 \[ \frac{2^{-\frac{1}{3}} - 1}{3(-\frac{1}{3}) + 2} = \frac{2^{-\frac{1}{3}} - 1}{-1 + 2} = \frac{2^{-\frac{1}{3}} - 1}{1} < 0 \]
    • Интервал (0; +∞): возьмем x = 1 \[ \frac{2^1 - 1}{3(1) + 2} = \frac{2 - 1}{3 + 2} = \frac{1}{5} > 0 \]
  • Шаг 6: Определим знак неравенства. Нам нужно \(\frac{2^x - 1}{3x + 2} < 0\), значит, выбираем интервал, где функция отрицательна. Это интервал (-2/3; 0). Но нужно учесть, что x = -2/3 не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен 0. x = 0 также не входит, так как неравенство строгое.

Ответ: (-2/3; 0)

Ответ: 21

Краткое пояснение: Находим производную функции, приравниваем к нулю и находим точку максимума на заданном интервале.

Решение:

  • Шаг 1: Находим производную функции f(x) = 5 - 8x - x². \[ f'(x) = -8 - 2x \]
  • Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и находим критические точки. \[ -8 - 2x = 0 \] \[ -2x = 8 \] \[ x = -4 \]
  • Шаг 3: Проверяем, принадлежит ли критическая точка интервалу [-6; -3]. -4 принадлежит интервалу [-6; -3].
  • Шаг 4: Вычисляем значения функции на концах интервала и в критической точке. \[ f(-6) = 5 - 8(-6) - (-6)^2 = 5 + 48 - 36 = 17 \] \[ f(-3) = 5 - 8(-3) - (-3)^2 = 5 + 24 - 9 = 20 \] \[ f(-4) = 5 - 8(-4) - (-4)^2 = 5 + 32 - 16 = 21 \]
  • Шаг 5: Определяем наибольшее значение функции на интервале [-6; -3]. Сравниваем значения: f(-6) = 17, f(-3) = 20, f(-4) = 21. Наибольшее значение функции равно 21.

Ответ: 21

Ответ: x = 4, x = -3

Краткое пояснение: Решаем уравнение, используя определение логарифма и учитывая ОДЗ.

Решение:

  • Шаг 1: Используем определение логарифма: \[ \log_7(x^2 - 2x - 8) = 1 \] \[ x^2 - 2x - 8 = 7^1 \] \[ x^2 - 2x - 8 = 7 \]
  • Шаг 2: Переносим все в одну сторону и получаем квадратное уравнение: \[ x^2 - 2x - 8 - 7 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 15 = 0 \]
  • Шаг 3: Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Используем теорему Виета: Сумма корней: x₁ + x₂ = 2 Произведение корней: x₁ * x₂ = -15 Корни: x₁ = 5, x₂ = -3 Подходят x = 5 и x = -3
  • Шаг 4: Проверяем корни на ОДЗ: x² - 2x - 8 > 0 (x - 4)(x + 2) > 0 x > 4 или x < -2 Значит, x = 5 подходит, x = -3 подходит
  • Шаг 5: Находим корни квадратного уравнения через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
  • Шаг 6: Проверяем корни на соответствие ОДЗ: \[ x^2 - 2x - 8 > 0 \] \[ (x - 4)(x + 2) > 0 \] ОДЗ: x < -2 или x > 4 x = 5 > 4 (подходит) x = -3 < -2 (подходит)

Ответ: x = 5, x = -3

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю