Площадь треугольника на 78 см² больше площади подобного треугольника. Периметр меньшего треугольника относится к периметру большего треугольника как 6 : 7. Определи площадь меньшего из подобных треугольников.

Пусть (S_1) – площадь меньшего треугольника, а (S_2) – площадь большего треугольника. Пусть (P_1) и (P_2) – периметры меньшего и большего треугольников соответственно.

Из условия задачи известно, что площадь большего треугольника на 78 см² больше площади меньшего треугольника: $$S_2 = S_1 + 78$$

Периметры относятся как 6:7: $$\frac{P_1}{P_2} = \frac{6}{7}$$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, который равен отношению их периметров. Поэтому:

$$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^2 = \left(\frac{6}{7}\right)^2 = \frac{36}{49}$$

Выразим (S_2) через (S_1):

$$S_2 = \frac{49}{36}S_1$$

Подставим это в первое уравнение:

$$\frac{49}{36}S_1 = S_1 + 78$$

Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от дроби:

$$49S_1 = 36S_1 + 78 \cdot 36$$

Вычтем (36S_1) из обеих частей:

$$13S_1 = 78 \cdot 36$$

Разделим обе части на 13:

$$S_1 = \frac{78 \cdot 36}{13} = 6 \cdot 36 = 216$$

Таким образом, площадь меньшего треугольника равна 216 см².

Ответ: 216 см²