Площадь треугольника на 45 см² больше площади подобного треугольника. Периметр меньшего треугольника относится к периметру большего треугольника как 4: 5. Определи площадь меньшего из подобных треугольников.

Дано:

• Площадь большего треугольника S_больш.
• Площадь меньшего треугольника S_меньш.
• S_больш = S_меньш + 45 см².
• Периметр меньшего треугольника P_меньш.
• Периметр большего треугольника P_больш.
• P_меньш : P_больш = 4 : 5.

Найти: S_меньш.

Решение:

1. Отношение площадей: Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия k равен отношению их периметров.
2. Коэффициент подобия:

   \[ k = \frac{P_{меньш}}{P_{больш}} = \frac{4}{5} \]

3. Отношение площадей:

   \[ \frac{S_{меньш}}{S_{больш}} = k^2 = \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} \]

4. Выразим площадь большего треугольника:

   \[ S_{больш} = \frac{25}{16} S_{меньш} \]

5. Подставим в исходное уравнение:

   \[ \frac{25}{16} S_{меньш} = S_{меньш} + 45 \]

6. Решим уравнение относительно S_меньш:

   \[ \frac{25}{16} S_{меньш} - S_{меньш} = 45 \]

   \[ \left( \frac{25}{16} - 1 \right) S_{меньш} = 45 \]

   \[ \left( \frac{25 - 16}{16} \right) S_{меньш} = 45 \]

   \[ \frac{9}{16} S_{меньш} = 45 \]

   \[ S_{меньш} = 45 \times \frac{16}{9} \]

   \[ S_{меньш} = 5 \times 16 \]

   \[ S_{меньш} = 80 \]

Ответ: 80 см²