Площадь заштрихованного треугольника равно 18. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Обозначим площадь заштрихованного треугольника как \( S_{AMN} = 18 \).

По условию задачи стороны разделены в следующем соотношении:

• \( AN : NC = 3x : 5x \)
• \( BK : KC = 2y : y \)

Рассмотрим треугольники \( Δ AMN \) и \( Δ AMC \). У них общая высота, опущенная из вершины \( M \) на основание \( AC \). Отношение их площадей равно отношению их оснований:

\( \frac{S_{AMN}}{S_{AMC}} = \frac{AN}{AC} = \frac{3x}{3x+5x} = \frac{3x}{8x} = \frac{3}{8} \)

Отсюда находим площадь \( Δ AMC \):

\( S_{AMC} = S_{AMN} \times \frac{8}{3} = 18 \times \frac{8}{3} = 6 \times 8 = 48 \)

Теперь рассмотрим треугольники \( Δ AMC \) и \( Δ ABC \). У них общая высота, опущенная из вершины \( A \) на основание \( BC \). Отношение их площадей равно отношению их оснований:

\( \frac{S_{AMC}}{S_{ABC}} = \frac{KC}{BC} = \frac{y}{2y+y} = \frac{y}{3y} = \frac{1}{3} \)

Отсюда находим площадь \( Δ ABC \):

\( S_{ABC} = S_{AMC} \times 3 = 48 \times 3 = 144 \)

Ответ: Площадь треугольника АВС равна 144.