Площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чертеже, задана интегралом

Решение:

Заштрихованная часть фигуры представляет собой площадь под параболой \( y = 4 - x^2 \) на интервале от \( x = -2 \) до \( x = 2 \). Эта площадь может быть вычислена с помощью определённого интеграла.

Интеграл, задающий площадь, выглядит следующим образом:

\[ \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx \]

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

• \( \int_{-2}^{2} (4-x^2)dx \) - этот интеграл соответствует площади под кривой \( y=4-x^2 \) между \( x=-2 \) и \( x=2 \).
• \( \int_{0}^{2} (4-x^2)dx \) - этот интеграл соответствует площади только правой половины заштрихованной области (от \( x=0 \) до \( x=2 \)).
• \( 2\int_{0}^{2} (4-x^2)dx \) - так как функция \( y=4-x^2 \) является чётной, интеграл от \( -2 \) до \( 2 \) равен удвоенному интегралу от \( 0 \) до \( 2 \), то есть \( \int_{-2}^{2} (4-x^2)dx = 2\int_{0}^{2} (4-x^2)dx \).
• \( 2\int_{-2}^{0} (4-x^2)dx \) - этот интеграл соответствует удвоенной площади левой половины заштрихованной области (от \( x=-2 \) до \( x=0 \)).

Поскольку заштрихованная область полностью находится между \( x=-2 \) и \( x=2 \) и симметрична относительно оси \( y \), правильным является как \( \int_{-2}^{2} (4-x^2)dx \), так и \( 2\int_{0}^{2} (4-x^2)dx \).

Из предложенных вариантов, наиболее полно соответствует всей заштрихованной области интеграл от -2 до 2.

Ответ: \( \int_{-2}^{2} (4-x^2)dx \).