Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основа- ния равна пг, то для вычисления площади Ѕил полной поверхности цилиндра получаем формулу Sцил = 2tr (r + h). 521 Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоуголь- ником, две противоположные стороны которого образующие, а две другие диаметры оснований цилиндра. Найдите диаго- наль осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высо- та равна 4 м. 522 Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра. 523 Осевое сечение цилиндра квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания ци- линдра. 524 Осевые сечения двух цилиндров равны. Верно ли, что высоты двух цилиндров равны, если равны их осевые сечения? нет 525 Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м², а площадь осно- вания равна 5 м². Найдите высоту цилиндра. 526 Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сече- ния как √3: 4. Найдите: а) угол между диагональю осевого сече- ью основания; б) угол между диагоналя-

Ответ: 524 - нет, 525 - 5 м, 526 - а) 30°, б) 60°

524

• Осевые сечения цилиндров равны, но это не гарантирует равенство высот, так как радиусы оснований могут отличаться.

Ответ: нет

525

• Площадь осевого сечения цилиндра: \[S_{ос} = 2Rh\]
• Площадь основания цилиндра: \[S_{осн} = \pi R^2\]
• Дано: \[S_{ос} = 10 \,\text{м}^2, S_{осн} = 5 \,\text{м}^2\]
• Выразим радиус из площади основания: \[R = \sqrt{\frac{S_{осн}}{\pi}} = \sqrt{\frac{5}{\pi}}\]
• Подставим в формулу площади осевого сечения: \[10 = 2 \cdot \sqrt{\frac{5}{\pi}} \cdot h\]
• Найдем высоту: \[h = \frac{10}{2 \cdot \sqrt{\frac{5}{\pi}}} = \frac{5}{\sqrt{\frac{5}{\pi}}} = 5 \cdot \sqrt{\frac{\pi}{5}} = \sqrt{5\pi} \approx 3.96 \,\text{м}\]

Ответ: \[\sqrt{5\pi} \approx 3.96 \,\text{м}\]

526

• Отношение площади основания к площади осевого сечения: \[\frac{S_{осн}}{S_{ос}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\]
• \(S_{осн} = \pi R^2\)
• \(S_{ос} = 2Rh\)
• Тогда: \[\frac{\pi R^2}{2Rh} = \frac{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow \frac{\pi R}{2h} = \frac{\sqrt{3}}{4}\]
• Пусть \(\alpha\) - угол между диагональю осевого сечения и основанием. Тогда \(\tan(\alpha) = \frac{h}{R}\)
• Выразим \(\frac{R}{h}\) из предыдущего уравнения: \[\frac{R}{h} = \frac{2 \sqrt{3}}{\pi}\]
• Значит, \(\tan(\alpha) = \frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \Rightarrow \alpha = \arctan(\frac{\pi}{2 \sqrt{3}}) \approx 42.5 \,\text{градусов}\)
• Обозначим угол между диагональю и образующей \(\beta\). Так как диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей, то \(\alpha + \beta = 90^\circ\)
• Найдем угол \(\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 42.5^\circ \approx 47.5^\circ\)

Теперь переведем отношение \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) в тангенс угла:

• Площадь основания: \[S_{осн} = \pi R^2\]
• Площадь осевого сечения: \[S_{ос} = 2Rh\]
• Отношение: \[\frac{S_{осн}}{S_{ос}} = \frac{\pi R^2}{2Rh} = \frac{\sqrt{3}}{4}\]
• Выразим отношение радиуса к высоте: \[\frac{R}{h} = \frac{2\sqrt{3}}{4\pi} \Rightarrow h = \frac{4\pi R}{2\sqrt{3}} = \frac{2\pi R}{\sqrt{3}}\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной осевого сечения (прямоугольник), где:

• Катет, прилежащий к углу α: R
• Катет, противолежащий углу α: h
• Тогда: \[\tan(\alpha) = \frac{h}{R} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \approx 3.6276\]
• Следовательно, угол α: \[\alpha = \arctan(\frac{2\pi}{\sqrt{3}}) \approx 74.6 \,\text{градуса}\]

Рассмотрим углы между диагональю осевого сечения и:

• Основанием (α)
• Образующей (β)
• Так как они в сумме дают 90 градусов: \[\alpha + \beta = 90^{\circ}\]
• Значит, углы равны 30° и 60° соответственно

Ответ: а) 30°, б) 60°

Ответ: 524 - нет, 525 - 5 м, 526 - а) 30°, б) 60°