Плоская льдина плавает в воде, выступая над её поверхностью на h = 0,04 м. Определите массу льдины, если площадь её основания S = 2500 см². Плотность льда равна 900 кг/м³.

Решение:

Для решения задачи нам понадобятся следующие данные:

• Высота выступающей части льдины над водой: $$h = 0,04$$ м.
• Площадь основания льдины: $$S = 2500$$ см².
• Плотность льда: $$\rho_{льда} = 900$$ кг/м³.
• Плотность воды: $$\rho_{воды} = 1000$$ кг/м³ (стандартное значение).

Шаг 1: Приведение единиц измерения к системе СИ.

• Площадь основания $$S$$ необходимо перевести из см² в м²:
$$S = 2500 \text{ см}^2 = 2500 \times (10^{-2} \text{ м})^2 = 2500 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,25$$ м².

Шаг 2: Определение объема погруженной части льдины.

• Когда тело плавает, сила Архимеда, действующая на него, равна силе тяжести этого тела.
• Сила Архимеда $$F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр}$$, где $$V_{погр}$$ — объем погруженной части льдины.
• Сила тяжести льдины $$F_{тяж} = m_{льдины} \cdot g = \rho_{льда} \cdot V_{льдины} \cdot g$$.
• Приравнивая силы: $$\rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр} = \rho_{льда} \cdot V_{льдины} \cdot g$$.
• Сокращая $$g$$: $$\rho_{воды} \cdot V_{погр} = \rho_{льда} \cdot V_{льдины}$$.
• Объем погруженной части льдины можно выразить как: $$V_{погр} = S \cdot (H - h)$$, где $$H$$ — полная высота льдины, а $$h$$ — высота выступающей над водой части.
• Общий объем льдины $$V_{льдины} = S \cdot H$$.
• Подставляем выражения для объемов: $$\rho_{воды} \cdot S \cdot (H - h) = \rho_{льда} \cdot S \cdot H$$.
• Сокращая $$S$$: $$\rho_{воды} \cdot (H - h) = \rho_{льда} \cdot H$$.
• Раскрываем скобки: $$\rho_{воды} \cdot H - \rho_{воды} \cdot h = \rho_{льда} \cdot H$$.
• Переносим члены с $$H$$ в одну сторону: $$\rho_{воды} \cdot H - \rho_{льда} \cdot H = \rho_{воды} \cdot h$$.
• Выносим $$H$$ за скобки: $$H \cdot (\rho_{воды} - \rho_{льда}) = \rho_{воды} \cdot h$$.
• Находим полную высоту льдины: $$H = \frac{\rho_{воды} \cdot h}{\rho_{воды} - \rho_{льда}}$$.
• Подставляем значения: $$H = \frac{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,04 \text{ м}}{1000 \text{ кг/м}^3 - 900 \text{ кг/м}^3} = \frac{40}{100} \text{ м} = 0,4$$ м.
• Теперь найдем объем погруженной части: $$V_{погр} = S \cdot (H - h) = 0,25 \text{ м}^2 \cdot (0,4 \text{ м} - 0,04 \text{ м}) = 0,25 \text{ м}^2 \cdot 0,36 \text{ м} = 0,09$$ м³.

Шаг 3: Определение массы льдины.

• Масса льдины равна произведению ее плотности на ее полный объем: $$m_{льдины} = \rho_{льда} \cdot V_{льдины}$$.
• Найдем полный объем льдины: $$V_{льдины} = S \cdot H = 0,25 \text{ м}^2 \cdot 0,4 \text{ м} = 0,1$$ м³.
• Рассчитываем массу: $$m_{льдины} = 900 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,1 \text{ м}^3 = 90$$ кг.
• Альтернативный способ определения массы:
• Из условия плавания: $$F_A = F_{тяж}$$.
• $$\rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр} = m_{льдины} \cdot g$$.
• $$m_{льдины} = \rho_{воды} \cdot V_{погр}$$.
• $$m_{льдины} = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,09 \text{ м}^3 = 90$$ кг.

Финальный ответ:

Ответ: Масса льдины равна 90 кг.