Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Расстояние от оси цилиндра до этой плоскости равно 2. Диагональ прямоугольника, полученного в сечении, равна 7. Найдите объём цилиндра. В ответ запишите значение выражения \(\frac{V}{\pi}\) Ответ:

• Угол дуги равен 120°, значит центральный угол, опирающийся на эту дугу, тоже равен 120°.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и расстоянием от оси до плоскости.
• Половина угла равна 60°.
• Расстояние от оси до плоскости равно 2, и это прилежащий катет к углу 60°.
• Найдем радиус основания цилиндра: \[\cos(60^\circ) = \frac{2}{R},\] \[R = \frac{2}{\cos(60^\circ)} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4.\]
• Длина хорды, отсекаемой плоскостью: \[\sin(60^\circ) = \frac{\frac{x}{2}}{4},\] \[\frac{x}{2} = 4\sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3},\] \[x = 4\sqrt{3}.\]
• В сечении получается прямоугольник со стороной \(4\sqrt{3}\) и диагональю 7.
• Найдем высоту цилиндра по теореме Пифагора: \[h^2 + (4\sqrt{3})^2 = 7^2,\] \[h^2 + 16 \cdot 3 = 49,\] \[h^2 = 49 - 48 = 1,\] \[h = 1.\]
• Объем цилиндра равен: \[V = \pi R^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 1 = 16\pi.\]
• Найдем значение выражения: \[\frac{V}{\pi} = \frac{16\pi}{\pi} = 16.\]

Ответ: 16