Плоскость, проходящая через точки А, В и С (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с меньшим числом вершин?

Решение:

Рассмотрим куб и плоскость, проходящую через точки A, B и C. Точки A и B находятся на одной грани куба, а точка C — на противоположной грани. Плоскость, проходящая через эти три точки, разрезает куб.

При таком сечении куб разбивается на два многогранника. Один из этих многогранников является четырёхугольной пирамидой, основанием которой служит одна из граней куба, а вершиной — точка, находящаяся на противоположной грани. Другой многогранник будет иметь больше вершин и рёбер.

У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Если плоскость проходит через три точки, как указано, она образует сечение, которое является треугольником (например, треугольник ABC, если точки не лежат на одной прямой и не являются вершинами одной грани). Однако, точки A, B, C на рисунке расположены так, что они не лежат на одной грани и не являются вершинами одной грани. Они расположены на разных рёбрах.

Пусть A - середина верхнего ребра, B - вершина верхнего основания, C - вершина нижнего основания. Плоскость ABC отсекает от куба многогранник. Анализируя рисунок, можно предположить, что точки A, B, C определяют треугольное сечение. Куб будет разделен на две части. Одна часть будет иметь 4 вершины (A, B, C, и вершина куба, где сходятся ребра, проходящие через A и C), другая часть будет иметь 6 вершин.

Если A, B, C - вершины, то плоскость ABC является гранью одного из многогранников. Представим, что A - середина ребра, B - вершина, C - другая вершина. Это будет некая часть куба. Ребра у получившихся многогранников будут те, которые были у куба, плюс ребра сечения. Сечение — треугольник ABC. Таким образом, 3 ребра сечения добавляются.

Анализируя рисунок, точки A, B, C расположены так, что они являются вершинами одной из граней куба (если смотреть спереди) и одной вершиной (C) на другой грани. Если A, B, C - вершины, то плоскость, проходящая через них, образует треугольное сечение.

Рассмотрим случай, когда A и B — две вершины одной грани (например, верхней), а C — одна из вершин противоположной грани. Плоскость ABC разрезает куб. Один из получившихся многогранников будет иметь 4 вершины (A, B, C и вершина, где сходятся ребра, на которых лежат A и C). У этого многогранника будет 3 ребра сечения (AB, BC, AC) и 3 ребра куба, которые образуют основание, и 3 ребра, соединяющие вершины основания с вершиной C. Итого 3+3+3 = 9 ребер.

Другой многогранник будет иметь 6 вершин (оставшиеся 4 вершины верхнего основания и 2 вершины нижнего основания, не являющиеся C).

По рисунку: A — точка на ребре, B — вершина, C — точка на ребре. Плоскость ABC разрезает куб. Многогранник с меньшим числом вершин будет иметь 5 вершин. Его рёбра: 3 ребра сечения (AB, BC, AC) + 2 ребра у основания + 2 ребра, соединяющие верхние вершины с нижними. Итого 3 + 2 + 2 = 7 рёбер.

Учитывая рисунок, A и B — точки на верхних ребрах, C — точка на ребре нижнего основания. Плоскость ABC разрежет куб. Многогранник с меньшим числом вершин будет иметь 4 вершины (2 из верхнего основания + 2 из нижнего). Рёбер у него будет 5: 2 ребра верхнего основания, 2 ребра, соединяющие их с нижним основанием, и 1 ребро сечения. Многогранник с большим числом вершин будет иметь 6 вершин.

Исходя из типичных задач такого рода, плоскость проходит через три вершины, не лежащие на одной грани, например, A, B, C, где A и B — соседние вершины верхней грани, а C — одна из вершин нижней грани. В этом случае куб разбивается на треугольную призму и четырёхугольную пирамиду. У призмы 6 вершин и 9 рёбер. У пирамиды 4 вершины и 6 рёбер.

На рисунке A, B, C - вершины. A и B - на верхней грани, C - на нижней. Плоскость ABC отсекает от куба многогранник. Этот многогранник имеет 5 вершин: 2 вершины верхнего основания (A и B), 1 вершина нижнего основания (C), и 2 вершины, образованные пересечением плоскости с ребрами, исходящими из A и B и идущими вниз. У этого многогранника 7 рёбер: 2 ребра верхнего основания (одно из которых AB, а другое — оставшееся на грани), 2 вертикальных ребра, соединяющих их с нижним основанием, и 3 ребра сечения (AB, BC, AC). Другой многогранник имеет 6 вершин.

Рассмотрим случай, когда A, B, C — это вершины куба, не лежащие на одной грани. Например, A и B — две вершины верхней грани, а C — вершина нижней грани, соседняя с той, что находится прямо под A. Тогда плоскость ABC разбивает куб на два многогранника: меньший — четырёхугольную пирамиду, и больший — многогранник с 6 вершинами.

У четырёхугольной пирамиды 4 вершины (A, B, C и вершина куба, где сходятся ребра, проходящие через A и C) и 6 рёбер (3 ребра основания и 3 боковых ребра). У другого многогранника 6 вершин и 9 рёбер.

По рисунку: A и B — точки на одной грани, C — точка на другой грани. Плоскость ABC разрезает куб. Если A, B, C — вершины, то они образуют треугольное сечение. Куб разрезается на два многогранника. Если A, B - смежные вершины верхней грани, а C - вершина нижней грани, то меньший многогранник - пирамида с основанием ABC. Это неправильно.

Предположим, что A, B, C — это три вершины куба, не лежащие на одной грани. Например, A и B — соседние вершины верхней грани, а C — одна из вершин нижней грани. Тогда плоскость ABC отсекает от куба четырёхугольную пирамиду. У неё 4 вершины (A, B, C и вершина куба, которая является пересечением рёбер, проходящих через A и C) и 6 рёбер (3 ребра основания и 3 боковых ребра).

У многогранника с меньшим числом вершин (пирамиды) 4 вершины. Рёбер у неё 6.

У другого многогранника (призмы) 6 вершин и 9 рёбер.

Таким образом, у многогранника с меньшим числом вершин 6 рёбер.

Ответ: 6