8. Плоскости а и в параллельны. Из точки М, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости а и в в точках А1 и В1, а другой - в точках А2 и В2 соответственно. Найдите отрезок В1В2, если А1А2 = 9 см, МВ₁ = 7 см, А1В₁ = 4 см 9. Из точки к плоскости проведены две наклонные , одна из которых на 6 см длинее другой. Проекции этих наклонных 17см. и 7 см Найти длину наклонных.

Краткое пояснение: Используем теорему о пропорциональных отрезках и теорему Пифагора для решения задач.

Задача 8

Краткое пояснение: Применим теорему о пропорциональных отрезках, чтобы найти длину отрезка B₁B₂.

Так как плоскости α и β параллельны, то по теореме о пропорциональных отрезках имеем:

\[\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{MB_1}{MB_2}\]

Из условия задачи известно, что A₁A₂ = 9 см, MB₁ = 7 см, A₁B₁ = 4 см. Тогда MA₂ = MA₁ + A₁A₂. Обозначим MA₁ = x, тогда MA₂ = x + 9.

Тогда:

\[\frac{x}{x + 9} = \frac{7}{MB_2}\]

Нужно найти B₁B₂. Обозначим B₁B₂ = y. Тогда MB₂ = MB₁ + B₁B₂ = 7 + y.

Получаем:

\[\frac{x}{x + 9} = \frac{7}{7 + y}\]

Также известно, что A₁B₁ = 4 см. Заметим, что треугольники MA₁B₁ и MA₂B₂ подобны. Значит:

\[\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{x}{x + 9} = \frac{4}{A_2B_2}\]

Выразим x из первого уравнения: \(x(7 + y) = 7(x + 9)\), \(7x + xy = 7x + 63\), \(xy = 63\), \(x = \frac{63}{y}\).

Треугольники MA₁B₁ и MA₂B₂ подобны, следовательно:

\[\frac{MB_1}{MB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}\]

Подставим значения:

\[\frac{7}{7 + y} = \frac{4}{A_2B_2}\]

Выразим A₂B₂:

\[A_2B_2 = \frac{4(7 + y)}{7}\]

Подставим x в уравнение \(\frac{x}{x + 9} = \frac{4}{A_2B_2}\):

\[\frac{\frac{63}{y}}{\frac{63}{y} + 9} = \frac{4}{\frac{4(7 + y)}{7}}\] \[\frac{\frac{63}{y}}{\frac{63 + 9y}{y}} = \frac{7}{7 + y}\] \[\frac{63}{63 + 9y} = \frac{7}{7 + y}\] \[63(7 + y) = 7(63 + 9y)\] \[441 + 63y = 441 + 63y\]

Получили тождество, что не позволяет найти y.

Из \(\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{MB_1}{MB_2}\) имеем \(\frac{MA_1}{MA_1 + 9} = \frac{7}{7 + B_1B_2}\). Пусть MA_1 = k \(A_1B_1\), где k - коэффициент подобия. Тогда \(\frac{MA_1}{9} = \frac{7}{B_1B_2}\). Из \(\frac{A_1A_2}{MA_1} = \frac{B_1B_2}{MB_1}\) имеем \(\frac{9}{MA_1} = \frac{B_1B_2}{7}\), \(MA_1 = \frac{63}{B_1B_2}\). Отсюда, \(\frac{MB_1}{A_1B_1} = \frac{MA_1}{A_1A_2}\) не верно. Должно быть \(\frac{MB_1}{A_1B_1} = \frac{MA_1}{A_1B_1}\).

Тогда \(\frac{MA_1}{MA_1 + A_1A_2} = \frac{MB_1}{MB_1 + B_1B_2}\), подставим известные значения \(\frac{MA_1}{MA_1 + 9} = \frac{7}{7 + B_1B_2}\) , \(7MA_1 + MA_1 \cdot B_1B_2 = 7MA_1 + 63\) , \(MA_1 \cdot B_1B_2 = 63\), следовательно, \(B_1B_2 = \frac{63}{MA_1}\). Так же \(\frac{MA_1}{A_1B_1} = \frac{MA_1 + 9}{A_2B_2}\). Из этого следует , что \(\frac{7}{4} = \frac{7 + B_1B_2}{A_1B_1 + A_1A_2}\), тогда \(\frac{7}{4} = \frac{7 + B_1B_2}{4 + A_1A_2}\). Не хватает данных.

Задача 9

Краткое пояснение: Используем теорему Пифагора, чтобы найти длины наклонных.

Пусть длина одной наклонной x, тогда длина другой наклонной x + 6.

Пусть h - высота, опущенная из точки к плоскости.

Применим теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников:

\[h^2 + 17^2 = (x + 6)^2\] \[h^2 + 7^2 = x^2\]

Выразим h² из второго уравнения и подставим в первое:

\[h^2 = x^2 - 49\] \[x^2 - 49 + 289 = (x + 6)^2\] \[x^2 + 240 = x^2 + 12x + 36\] \[12x = 240 - 36\] \[12x = 204\] \[x = \frac{204}{12} = 17\]

Тогда длина второй наклонной: x + 6 = 17 + 6 = 23