Плоскости п₁ и п₂ заданы уравнениями 2х-у+3z+ 5 = 0 и $$\frac{x}{1}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{3}= 1$$. Определите угол φ между данными плоскостями.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим нормальные векторы для каждой плоскости.
  • Для плоскости π₁: 2x - y + 3z + 5 = 0, нормальный вектор n₁ = (2, -1, 3).
  • Для плоскости π₂: x/1 + y/(-2) + z/3 = 1, нормальный вектор n₂ = (1, -1/2, 1/3).
• Шаг 2: Упростим вектор n₂, умножив его на 6, чтобы избавиться от дробей: n₂ = (6, -3, 2).
• Шаг 3: Используем формулу для нахождения угла φ между плоскостями: \[\cos φ = \frac{|n₁ ⋅ n₂|}{||n₁|| ⋅ ||n₂||}\]
• Шаг 4: Вычислим скалярное произведение n₁ ⋅ n₂: \[n₁ ⋅ n₂ = (2)(6) + (-1)(-3) + (3)(2) = 12 + 3 + 6 = 21\]
• Шаг 5: Вычислим нормы векторов:
  • \[||n₁|| = \sqrt{2² + (-1)² + 3²} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}\]
  • \[||n₂|| = \sqrt{6² + (-3)² + 2²} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7\]
• Шаг 6: Подставим значения в формулу для cos φ: \[\cos φ = \frac{|21|}{\sqrt{14} ⋅ 7} = \frac{21}{7\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{14}}{14}\]
• Шаг 7: Найдем угол φ: \[φ = \arccos(\frac{3\sqrt{14}}{14})\]

Ответ: φ = arccos$$\frac{3\sqrt{14}}{14}$$