4) PM = 9, PK = 15, MK = x

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о секущей и касательной, проведенных из одной точки к окружности. В нашем случае, прямая (KM) является касательной к окружности в точке (M), а прямая (PK) – секущей. Теорема гласит: (KM^2 = PK cdot PM) Подставим известные значения: (PM = 9), (PK = 15), и обозначим (MK = x). Тогда уравнение будет выглядеть так: (x^2 = 15 cdot 9) (x^2 = 135) (x = sqrt{135}) (x = sqrt{9 cdot 15}) (x = 3sqrt{15}) Таким образом, длина отрезка (MK) равна (3sqrt{15}). Ответ: (3\sqrt{15})