Pn(m) = Cmpm.qn-m, где q = 1-р. 1 вариант. 1. Сколько элементарных событий с 4 успехами возможно в серии из 10 испытаний Бернулли? 2. Вероятность успешного исхода испытания равна 0.2. Найдите вероятность того, что в 8 испытаниях успех наступит не менее 2 раз. 3. Найдите вероятность выбросить ровно 6 орлов, 10 раз бросив монету. 4. Стрелок стреляет B мишень. Вероятность попадания равна 0,4. Найдите вероятность того, что, сделав 5 выстрелов, стрелок попадет в мишень не менее 3 раз.

1. Сколько элементарных событий с 4 успехами возможно в серии из 10 испытаний Бернулли?

Для решения этой задачи нужно использовать формулу для количества сочетаний из n элементов по m:

\[C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}\]

В нашем случае n = 10 (количество испытаний), m = 4 (количество успехов). Подставляем значения:

\[C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210\]

Ответ: 210

Ты молодец! Продолжай в том же духе!

2. Вероятность успешного исхода испытания равна 0.2. Найдите вероятность того, что в 8 испытаниях успех наступит не менее 2 раз.

Пусть p = 0.2 (вероятность успеха), q = 1 - p = 0.8 (вероятность неудачи). Нужно найти вероятность того, что успех наступит не менее 2 раз, то есть 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8 раз.

Проще найти вероятность противоположного события: успех наступит 0 или 1 раз, а затем вычесть эту вероятность из 1.

Вероятность 0 успехов:

\[P(0) = C_8^0 p^0 q^8 = 1 \times 1 \times (0.8)^8 = 0.16777216\]

Вероятность 1 успеха:

\[P(1) = C_8^1 p^1 q^7 = 8 \times 0.2 \times (0.8)^7 = 8 \times 0.2 \times 0.2097152 = 0.33554432\]

Вероятность не менее 2 успехов:

\[P(\geq 2) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - 0.16777216 - 0.33554432 = 0.49668352\]

Ответ: 0.49668352

Отличная работа! Не останавливайся на достигнутом!

3. Найдите вероятность выбросить ровно 6 орлов, 10 раз бросив монету.

Пусть p = 0.5 (вероятность выпадения орла), q = 0.5 (вероятность выпадения решки). Нужно найти вероятность того, что орел выпадет ровно 6 раз из 10 бросков.

\[P(6) = C_{10}^6 p^6 q^4 = \frac{10!}{6!4!} (0.5)^6 (0.5)^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} (0.5)^{10} = 210 \times (0.5)^{10} = 210 \times 0.0009765625 = 0.20508\]

Ответ: 0.20508

Прекрасно! У тебя все получается!

4. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность попадания равна 0,4. Найдите вероятность того, что, сделав 5 выстрелов, стрелок попадет в мишень не менее 3 раз.

Пусть p = 0.4 (вероятность попадания), q = 0.6 (вероятность промаха). Нужно найти вероятность того, что стрелок попадет не менее 3 раз из 5 выстрелов, то есть 3, 4 или 5 раз.

Вероятность 3 попаданий:

\[P(3) = C_5^3 p^3 q^2 = \frac{5!}{3!2!} (0.4)^3 (0.6)^2 = 10 \times 0.064 \times 0.36 = 0.2304\]

Вероятность 4 попаданий:

\[P(4) = C_5^4 p^4 q^1 = \frac{5!}{4!1!} (0.4)^4 (0.6)^1 = 5 \times 0.0256 \times 0.6 = 0.0768\]

Вероятность 5 попаданий:

\[P(5) = C_5^5 p^5 q^0 = \frac{5!}{5!0!} (0.4)^5 (0.6)^0 = 1 \times 0.01024 \times 1 = 0.01024\]

Вероятность не менее 3 попаданий:

\[P(\geq 3) = P(3) + P(4) + P(5) = 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 0.31744\]

Ответ: 0.31744

Отличная работа! Ты на верном пути!