По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 10% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число п млн рублей после первого и второго годов, а также целое число т млн рублей после третьего и четвёртого годов. Найдите наименьшее значение п, при котором первоначальные вложения за два года как минимум утроятся, и наименьшее значение т, такое, что при найденном ранее значении п, первоначальные вложения за четыре года увеличатся как минимум в 4 раза.

Решение:

Обозначим начальное вложение как \( S_0 = 20 \) млн рублей.

Прирост вложенных средств составляет 10% в год, то есть коэффициент роста равен 1.1.

1. Найдём наименьшее значение \( n \).

Сумма вложений после первого года: \( S_1 = S_0 \cdot 1.1 \)

Сумма вложений после второго года с учётом дополнительного вложения \( n \): \( S_2 = (S_1 + n) \cdot 1.1 = (S_0 \cdot 1.1 + n) \cdot 1.1 = S_0 \cdot 1.1^2 + 1.1n \)

Условие: \( S_2 \ge 3 S_0 \)

\( 20 \cdot 1.1^2 + 1.1n \ge 3 \cdot 20 \)

\( 20 \cdot 1.21 + 1.1n \ge 60 \)

\( 24.2 + 1.1n \ge 60 \)

\( 1.1n \ge 60 - 24.2 \)

\( 1.1n \ge 35.8 \)

\( n \ge \frac{35.8}{1.1} \)

\( n \ge 32.545... \)

Так как \( n \) — целое число, то наименьшее значение \( n = 33 \) млн рублей.

2. Найдём наименьшее значение \( m \) при \( n = 33 \).

Сумма вложений после третьего года с учётом дополнительного вложения \( m \): \( S_3 = (S_2 + m) \cdot 1.1 \)

Сумма вложений после четвёртого года с учётом дополнительного вложения \( m \): \( S_4 = (S_3 + m) \cdot 1.1 = ((S_2 + m) \cdot 1.1 + m) \cdot 1.1 = (S_2 + m) \cdot 1.1^2 + 1.1m \)

Подставим \( S_2 = 20 \cdot 1.1^2 + 1.1n = 24.2 + 1.1 \cdot 33 = 24.2 + 36.3 = 60.5 \)

\( S_4 = (60.5 + m) \cdot 1.1^2 + 1.1m \)

\( S_4 = (60.5 + m) \cdot 1.21 + 1.1m \)

\( S_4 = 60.5 \cdot 1.21 + 1.21m + 1.1m \)

\( S_4 = 73.205 + 2.31m \)

Условие: \( S_4 \ge 4 S_0 \)

\( 73.205 + 2.31m \ge 4 \cdot 20 \)

\( 73.205 + 2.31m \ge 80 \)

\( 2.31m \ge 80 - 73.205 \)

\( 2.31m \ge 6.795 \)

\( m \ge \frac{6.795}{2.31} \)

\( m \ge 2.9415... \)

Так как \( m \) — целое число, то наименьшее значение \( m = 3 \) млн рублей.

Ответ: наименьшее значение \( n = 33 \) млн рублей, наименьшее значение \( m = 3 \) млн рублей.