По чертежу назовите: а) линию пересечения плоскостей (ABC) и (AA₁B₁); б) плоскости, которым принадлежат точка M, точка B; в) плоскость, в которой лежит прямая MN, прямая KN. Постройте: а) точку пересечения прямой MN и плоскости (ABC); б) точку пересечения прямой MN и плоскости (A₁B₁C₁); в) линию пересечения плоскостей (ABC) и (MNK); г) точку пересечения прямой KN с плоскостью (ABC); д) линию пересечения плоскостей (AA₁B₁) и (MNK).

Обозначим: основание призмы — треугольник ABC, верхнее основание — A₁B₁C₁.

1. а) Плоскости (ABC) и (AA₁B₁) имеют общую прямую AB. Поэтому линия пересечения — AB.
2. б) Точка M лежит на ребре AA₁, поэтому ей принадлежат плоскости, содержащие это ребро; в частности, плоскость (AA₁B₁). Точка B принадлежит плоскости основания (ABC).
3. в) Прямые MN и KN лежат в плоскости, проходящей через три точки M, N и K. Это плоскость (MNK).

Построения:

1. а) Рассмотрим боковую плоскость (ACC₁A₁). В ней лежит прямая MN, а её пересечение с плоскостью (ABC) — прямая AC. Продолжая MN и AC, получаем точку P = MN ∩ AC. Это искомая точка пересечения MN с плоскостью (ABC).
2. б) Пересечение плоскости (ACC₁A₁) с верхней плоскостью (A₁B₁C₁) — прямая A₁C₁. Продолжая MN, получаем Q = MN ∩ A₁C₁. Это искомая точка.
3. в) Плоскость (MNK) пересекает плоскость (ABC) по прямой, проходящей через две общие точки P и K. Следовательно, линия пересечения — PK.
4. г) Точка K уже лежит на ребре BC, а значит, принадлежит плоскости (ABC). Поэтому KN ∩ (ABC) = K.
5. д) Пусть R = PK ∩ AB. Точка R принадлежит одновременно плоскостям (AA₁B₁) и (MNK). Точка M также принадлежит обеим плоскостям. Поэтому их линия пересечения — MR.

Ответ: а) AB; б) M — (AA₁B₁), B — (ABC); в) (MNK). Построения: а) P = MN ∩ AC; б) Q = MN ∩ A₁C₁; в) PK; г) K; д) MR, где R = PK ∩ AB.