589 По данным катетам а и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе: a) a=5, b=12; б) а=12, b = 16.

Для решения задачи используем формулу площади прямоугольного треугольника, выраженную через катеты и через гипотенузу и высоту, проведенную к ней.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2}ab$$.

С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $$S = \frac{1}{2}ch$$, где c - гипотенуза, h - высота, проведенная к гипотенузе.

Приравниваем оба выражения для площади и получаем: $$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$$, следовательно, $$ab = ch$$, отсюда $$h = \frac{ab}{c}$$.

Чтобы найти гипотенузу, используем теорему Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$.

1. a) a = 5, b = 12

   Найдем гипотенузу: $$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$.

   Найдем высоту: $$h = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4.62$$.

2. б) a = 12, b = 16

   Найдем гипотенузу: $$c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$$.

   Найдем высоту: $$h = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = 9.6$$.

Ответ: а) $$h = \frac{60}{13} \approx 4.62$$, б) $$h = 9.6$$