По данным на рисунке найдите \(\left|\overrightarrow{KE}-\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN}\right|\), если \(KE=4\sqrt2\) и \(\angle NKM=45^\circ\).

Обозначим \(\overrightarrow{KN}=\mathbf n\), \(\overrightarrow{KM}=\mathbf m\), \(\overrightarrow{KE}=\mathbf e\).

По рисунку \(NK\perp KM\), а \(\angle NKM=45^\circ\) означает, что диагональ \(KM\) образует угол 45° с горизонтальной стороной. Поэтому прямоугольник \(NKM\) — квадрат, и \(NK=KM\). Также \(KM\perp KE\), следовательно, треугольник \(KME\) прямоугольный при \(K\).

Так как \(NK=KM\) и \(KE\perp KM\), векторы \(\overrightarrow{KN}\) и \(\overrightarrow{KE}\) перпендикулярны, а по рисунку и условию угол между ними равен 45°. Для искомого вектора:

\[\overrightarrow{KE}-\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{MN}.\]

В прямоугольнике \(NKM\) вектор \(\overrightarrow{MN}\) равен \(\overrightarrow{K?}\) — точнее, \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{KN}\). Следовательно, искомый вектор равен \(\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KN}\). По рисунку \(KN\perp KE\), поэтому его длина определяется теоремой Пифагора, но длина \(KN\) из данных не находится однозначно: известны только \(KE\) и углы, а длина \(KM\) (и, значит, \(KN\)) не задана.

Условие и рисунок не задают дополнительной связи, позволяющей найти \(KN\) по \(KE\): прямоугольный треугольник \(KME\) имеет угол при \(K\) 90°, но длина его катета \(KM\) не определена указанным углом \(NKM\), который относится к прямоугольнику слева.

Ответ: данных недостаточно; необходимо знать длину \(KN\) (или \(KM\)).