По данным рисунка найдите периметр треугольника TNL.

Обозначим периметр треугольника через P.

Треугольники и подобны, так как угол N общий, а углы и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны.

Тогда можно записать соотношение сторон:

$$ \frac{TN}{KG} = \frac{NL}{GN} = \frac{TL}{KN} $$

Периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны:

$$ \frac{P_{TNL}}{P_{KNG}} = \frac{TN}{KG} = \frac{NL}{GN} = \frac{TL}{KN} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{TN}{12} = \frac{16}{GN} $$

Выразим через периметр треугольника :

$$ P_{KNG} = KN + NG + KG = 27 $$

Из этого следует, что:

$$ KN + NG = 27 - 12 = 15 $$

Теперь выразим периметр треугольника :

$$ P_{TNL} = TN + NL + TL $$

Мы знаем, что:

$$ \frac{TN}{12} = \frac{NL}{GN} = \frac{TL}{KN} = k $$

Тогда:

$$ TN = 12k, \quad NL = GN \cdot k, \quad TL = KN \cdot k $$

Следовательно:

$$ P_{TNL} = 12k + GN \cdot k + KN \cdot k = k(12 + GN + KN) = k(12 + 15) = 27k $$

Нам нужно найти коэффициент подобия .

По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки, имеем:

$$ TL^2 = NL \cdot (NL + LG) $$

Используем подобие:

$$ \frac{TL}{KN} = k $$

$$ TL = KN \cdot k $$

$$ vert \frac{NL}{GN} = k \Rightarrow NL = GN \cdot k $$

Тогда:

$$ \frac{TN}{KG} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $$

Поэтому:

$$ P_{TNL} = \frac{4}{3} \cdot 27 = 36 $$

Ответ: 36