По данным рисунка, найдите площадь прямоугольника CDFK (в см²), если СК: CD = 4 : 3, R= 12,5 см.

Привет! Давай разберем эту задачку вместе.

Что нам известно?

• У нас есть прямоугольник CDFK, вписанный в окружность.
• Диаметр окружности равен 12,5 см (R = 12,5 см).
• Соотношение сторон прямоугольника СК : CD = 4 : 3.

Что нужно найти?

• Площадь прямоугольника CDFK.

Как будем решать?

1. Найдем стороны прямоугольника.
2. Вычислим площадь.

Шаг 1: Находим стороны прямоугольника.

Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. Значит, диагональ CK = 2 * R = 2 * 12,5 см = 25 см.

Мы знаем, что СК : CD = 4 : 3. Пусть СК = 4x, а CD = 3x.

В прямоугольном треугольнике CKD (угол D прямой, так как CDFK — прямоугольник), по теореме Пифагора:

• $$CD^2 + DK^2 = CK^2$$

Так как CDFK — прямоугольник, то DK = CF. И CD = FK.

Также, поскольку прямоугольник вписан в окружность, его диагонали равны диаметру окружности. Значит, $$CK = DF = 25$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDF. По теореме Пифагора:

• $$CD^2 + CF^2 = DF^2$$

Так как $$CF = DK$$, и $$CK:CD = 4:3$$, мы можем записать:

• Пусть $$CK = 4x$$ и $$CD = 3x$$.
• $$DF$$ — это диагональ прямоугольника, и она равна диаметру окружности, то есть $$DF = 2 \times 12.5 = 25$$ см.
• В прямоугольном треугольнике $$CDF$$, $$CD^2 + CF^2 = DF^2$$.
• Заметим, что $$CD$$ и $$CF$$ — это стороны прямоугольника. Их отношение $$CK:CD = 4:3$$. Мы обозначили $$CK = 4x$$ и $$CD = 3x$$. Важно понимать, что $$CK$$ — это одна из сторон прямоугольника, а $$CD$$ — другая.
• Диагональ прямоугольника $$DF = 25$$ см.
• По теореме Пифагора для треугольника $$CDF$$: $$CD^2 + CF^2 = DF^2$$.
• Подставим наши обозначения: $$(3x)^2 + (4x)^2 = 25^2$$
• $$9x^2 + 16x^2 = 625$$
• $$25x^2 = 625$$
• $$x^2 = 625 / 25$$
• $$x^2 = 25$$
• $$x = \sqrt{25} = 5$$ см.

Теперь найдем длины сторон прямоугольника:

• $$CD = 3x = 3 \times 5 = 15$$ см.
• $$CK = 4x = 4 \times 5 = 20$$ см.

Шаг 2: Вычисляем площадь.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

• Площадь = $$CD \times CK$$
• Площадь = $$15 \text{ см} \times 20 \text{ см}$$
• Площадь = $$300 \text{ см}^2$$.

Ответ: 300