По данным рисунка постройте: а) точки пересечения прямой MN с плоскостью AA₁B₁ и прямой A₁N с плоскостью CDD₁; прямой MN с плоскостью CC₁D₁ и прямой CM с плоскостью ABB₁; б) линию пересечения плоскости C₁MN с плоскостью BB₁C₁; плоскости A₁MN с плоскостью DAA₁.

Обозначим через P и Q точки пересечения прямой MN соответственно с прямыми AB и CD, а через R — точку пересечения прямой A₁N с прямой DD₁. Точки P и R могут лежать на продолжениях соответствующих рёбер.

1. Плоскость AA₁B₁ пересекает плоскость основания по прямой AB. Поэтому MN пересекает AA₁B₁ в точке P = MN ∩ AB.
2. Плоскость CC₁D₁ пересекает плоскость основания по прямой CD. Поэтому MN пересекает CC₁D₁ в точке Q = MN ∩ CD.
3. Плоскость CDD₁ пересекает переднюю грань AA₁D₁ по прямой DD₁. Поэтому A₁N пересекает CDD₁ в точке R = A₁N ∩ DD₁.
4. Точки C и M лежат на ребре BC, а B принадлежит плоскости ABB₁. Следовательно, CM пересекает ABB₁ в точке B.
5. Плоскости C₁MN и BB₁C₁ имеют общие точки C₁ и M. Их линия пересечения — прямая C₁M.
6. Плоскости A₁MN и DAA₁ имеют общие точки A₁ и N. Их линия пересечения — прямая A₁N.

Схема: P = MN ∩ AB; Q = MN ∩ CD; R = A₁N ∩ DD₁. Прямые пересечения плоскостей — C₁M и A₁N.

Ответ: а) P, R; Q, B. б) прямые C₁M и A₁N.