По двум горизонтально расположенным параллельным проводящим рельсам с пренебрежимо малым сопротивлением, замкнутым на конденсатор электроёмкостью С = 100 мкФ, поступательно и равномерно скользит проводящий стержень. Расстояние между рельсами l = 1 м. Рельсы со стержнем находятся в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл (см. рис.). Через достаточно большой промежуток времени от начала движения энергия электрического поля конденсатора W = 50 мкДж. Какова скорость движения стержня? Рельсы закреплены на диэлектрической подложке.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Энергия электрического поля конденсатора переходит в кинетическую энергию проводящего стержня.

1. Дано:
   Электроёмкость конденсатора \( C = 100 \text{ мкФ} = 100 \times 10^{-6} \text{ Ф} \)
   Расстояние между рельсами \( l = 1 \text{ м} \)
   Индукция магнитного поля \( B = 1 \text{ Тл} \)
   Энергия электрического поля \( W = 50 \text{ мкДж} = 50 \times 10^{-6} \text{ Дж} \)
2. Найти:
   Скорость движения стержня \( v \)
3. Формулы:
   Энергия электрического поля конденсатора: \( W = \frac{q^2}{2C} \) или \( W = \frac{1}{2}CU^2 \)
   ЭДС индукции, индуцируемая в стержне: \( \mathcal{E} = Blv \)
   Заряд на конденсаторе: \( q = CU \)
   Кинетическая энергия стержня: \( E_k = \frac{mv^2}{2} \) (масса стержня не дана, будем искать скорость через напряжение и заряд)
4. Решение:
   Энергия электрического поля конденсатора равна \( W = 50 \times 10^{-6} \text{ Дж} \).
   Из формулы \( W = \frac{1}{2}CU^2 \) найдём напряжение \( U \) на конденсаторе:
   \[ U^2 = \frac{2W}{C} \]
   \[ U = \sqrt{\frac{2W}{C}} = \sqrt{\frac{2 \times 50 \times 10^{-6} \text{ Дж}}{100 \times 10^{-6} \text{ Ф}}} = \sqrt{\frac{100 \times 10^{-6}}{100 \times 10^{-6}}} = \sqrt{1} = 1 \text{ В} \]
   Напряжение на конденсаторе равно ЭДС индукции, индуцируемой в стержне:
   \[ U = \mathcal{E} \]
   Из формулы ЭДС индукции \( \mathcal{E} = Blv \) найдём скорость \( v \):
   \[ v = \frac{\mathcal{E}}{Bl} = \frac{U}{Bl} \]
   \[ v = \frac{1 \text{ В}}{1 \text{ Тл} \times 1 \text{ м}} = 1 \text{ м/с} \]

Ответ: Скорость движения стержня равна 1 м/с.