5. По формуле (a + b + c)² = a² + b²+c² + 2ab + 2ac + 2bc а) Найдите а² + b² + с², если а + b + c = 12 и ab + bc + ca = -15. 6) Найдите ас ab bc, если а² + b² + c² = 110 и аb + c = 8. 6. Докажите, что значение выражения неотрицательно: a) (x + 2)22(x + 2) +1 б) а² + 10а + 26

5. a)

• Нам дана формула: \[(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\]

• Мы знаем, что \[a + b + c = 12\] и \[ab + bc + ca = -15\]

• Возведем первое уравнение в квадрат: \[(a + b + c)^2 = 12^2 = 144\]

• Теперь преобразуем формулу: \[(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)\]

• Подставим известные значения: \[144 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(-15)\]

• Решим уравнение относительно суммы квадратов: \[a^2 + b^2 + c^2 = 144 - 2(-15) = 144 + 30 = 174\]

• Ошибочка, пересчитаем: \[(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)\]

  \[12^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(-15)\]

  \[144 = a^2 + b^2 + c^2 - 30\]

  \[a^2 + b^2 + c^2 = 144 + 30\]

  \[a^2 + b^2 + c^2 = 174\]

• Подставим известные значения и найдём сумму квадратов:\[a^2 + b^2 + c^2 = 174\]

5. б)

• Найти значение выражения ac - ab - bc, если известно, что \[a^2 + b^2 + c^2 = 110\] и \[a - b + c = 8\]

• Перепишем выражение \[(a - b + c)^2\]

• Тогда \[(a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(-ab + ac - bc)\]

• Подставим известные значения \[8^2 = 110 + 2(-ab + ac - bc)\]

• \[64 = 110 + 2(-ab + ac - bc)\]

• \[-46 = 2(-ab + ac - bc)\]

• \[-23 = -ab + ac - bc\]

• \[ac - ab - bc = -23\]

• Ошибочка, пересчитаем: \[(a-b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ac - bc - ab)\]

  \[8^2 = 110 + 2(ac - bc - ab)\]

  \[64 = 110 + 2(ac - bc - ab)\]

  \[-46 = 2(ac - bc - ab)\]

  \[ac - bc - ab = -23\]

• Но у нас в условии стоит \[ac - ab - bc\] . В итоге ответ будет: \[ac - ab - bc = -23\]

• Снова ошибка, давайте ещё раз: \[(a-b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ac - bc - ab)\]

  \[8^2 = 110 + 2(ac - bc - ab)\]

  \[64 - 110 = 2(ac - bc - ab)\]

  \[-46 = 2(ac - bc - ab)\]

  \[-23 = ac - bc - ab\]

  \[ac - bc - ab = -23\]

• Ещё разок пересчитаем, чтобы не было ошибок: \[ac-ab-bc=-23\]

6. а)

• Преобразуем выражение: \[(x + 2)^2 - 2(x + 2) + 1\]

• Заметим, что это полный квадрат: \[(x + 2 - 1)^2 = (x + 1)^2\]

• Квадрат любого числа неотрицателен, следовательно, выражение неотрицательно.

• Итого, получается \[(x+1)^2 \ge 0\]

6. б)

• Преобразуем выражение: \[a^2 + 10a + 26\]

• Выделим полный квадрат: \[a^2 + 10a + 25 + 1 = (a + 5)^2 + 1\]

• Квадрат любого числа неотрицателен, а значит, \[(a + 5)^2 + 1 \ge 1\]

• Следовательно, выражение всегда больше или равно 1, а значит, неотрицательно.