По каналу связи передаются сообщения, содержащие только шесть букв: А, Б, Л, О, С, Т. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: Б – 001, С – 110, О – 1111. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова БАЛЛАСТ?

Решение:

• В задании дана информация о кодировании шести букв: А, Б, Л, О, С, Т.
• Условие Фано означает, что ни один код не является началом другого.
• Известны кодовые слова для букв: Б – 001, С – 110, О – 1111.
• Нам нужно закодировать слово БАЛЛАСТ.
• Буквы, для которых код не дан, нужно закодировать так, чтобы общее количество двоичных знаков было минимальным.
• Для этого нужно присвоить наиболее часто встречающимся буквам (А, Л, Т) самые короткие коды.
• Проанализируем слово БАЛЛАСТ: Б - 1 раз, А - 2 раза, Л - 2 раза, С - 1 раз, Т - 1 раз.
• Наиболее часто встречающиеся буквы – А и Л. Им присвоим коды длиной 2 бита.
• Остальные буквы (Б, С, Т, О) – более длинные коды.
• Попробуем следующие коды, соблюдая условие Фано:
• Б: 001 (3 бита)
• А: 0 (1 бит) - Это нарушает условие Фано, т.к. код '0' является началом кода '001' для Б
• Следовательно, нужно использовать более длинные коды.
• Попробуем такое распределение кодов:
• Наиболее частые буквы (А, Л) – 2 бита.
• Менее частые (Б, Т, С) – 3 бита.
• Самая редкая (О) – 4 бита.
• Присвоим коды:
• Б: 001 (3 бита)
• С: 110 (3 бита)
• О: 1111 (4 бита)
• Для А и Л, которые встречаются по 2 раза, используем двухбитные коды.
• Допустим, А = 10, Л = 01.
• Проверим условие Фано:
• 001, 110, 1111, 10, 01.
• Ни один код не является началом другого. Условие выполняется.
• Теперь закодируем слово БАЛЛАСТ:
• Б - 001
• А - 10
• Л - 01
• Л - 01
• А - 10
• С - 110
• Т - ? (нужен код для Т, пока не назначен)
• Так как О имеет код 1111, то для Т можно взять код длиной 3 бита, который не пересекается с остальными. Например, 100.
• Проверим новые коды: Б(001), С(110), О(1111), А(10), Л(01), Т(100).
• 001, 110, 1111, 10, 01, 100.
• Условие Фано выполняется.
• Теперь кодируем слово БАЛЛАСТ:
• Б: 001 (3 бита)
• А: 10 (2 бита)
• Л: 01 (2 бита)
• Л: 01 (2 бита)
• А: 10 (2 бита)
• С: 110 (3 бита)
• Т: 100 (3 бита)
• Общее количество двоичных знаков: 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 = 17.

Ответ: 17