По кругу выписаны 24 натуральных числа (не обязательно различных). Известно, что в любых трёх идущих подряд числах найдётся число, которое больше суммы двух других. Найдите наименьшее возможное значение суммы всех 24 чисел.

Рассмотрим любые три идущих подряд натуральных числа. Одно из них больше суммы двух других, а значит, оно не меньше этой суммы на 1. Поскольку два других числа не меньше 1 каждое, сумма всей тройки не меньше 5.

Всего есть 24 тройки соседних чисел по кругу. В сумме этих троек каждое из 24 чисел учитывается ровно три раза. Поэтому утроенная сумма всех чисел не меньше \(24\cdot 5=120\), и сумма всех чисел не меньше \(120:3=40\).

Эта оценка достижима: выпишем по кругу последовательность \(1,1,3\), повторённую 8 раз. В каждой тройке подряд встречаются числа \(1,1,3\), и \(3>1+1\). Сумма чисел равна \(8(1+1+3)=40\).

Ответ: 40.